Закон Био-Савара-Лапласа. Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.
В пространстве, окружающем проводники с током, движущиеся заряды, магниты, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности магнитного поля 
или с помощью вектора индукции магнитного поля 
. В вакууме векторы и связаны соотношением:
, (1)
где μ0 = 4π·10-7 Гн/м - магнитная постоянная.
Единицы измерения и А/ми Тл соответственно. В среде с магнитной проницаемостью μ
Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля, используют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементарная напряженность магнитного поля 
, создаваемая элементом проводника с током 
в некоторой точке пространства на расстоянии 
, определяется выражением
, (2)
где 
- единичный вектор вдоль .
Модуль вектора
,
где φ – угол между векторами 
и .
Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей и найти векторную сумму элементарных напряженностей 
от всех элементов проводника. Применим формулу (2) для вычисления напряженности магнитного поля на оси кругового витка с током (рис. 1).
На рис. 1 компонента dH1, созданная элементом тока , согласно (2) определяется как
,
где учтено, что угол между и прямой. Из симметрии элементов витка по отношению к точке А видно, что результирующая напряженность магнитного поля направлена вдоль оси так, что 
, то есть
.
В правой части последней формулы все-величины, кроме dl, постоянны (для данной точки А), поэтому интегрирование no dl дает
,
или согласно рис. 1
(3)
Величину 
можно найти по формуле (1).
Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси соленоида (на расстоянии zот средней точки на оси)
Пусть на единицу длины соленоида приходится в витков (рис.2), тогда участок d z содержит ndzвитков, которые, согласно (3), в точке А на осисоздадут напряженность
. (4)
На рис. 2 L - длина соленоида, а - радиус витков обмотки, 0 -центральная точка на оси соленоида. ОА=z - координата точки А.
На рис. 3 отдельно изображены элементы dz, радиус-вектор 
и углы α и dα. Из геометрических построений рис.2 и 3 следует:
; 
; 
.
Подставим эти соотношения в (4) и проинтегрируем по α в пределах от α1 до α3:
.
Учитывая, что 
, получим
(5)
В случае бесконечно длинного соленоида (l>>α) в центральной точке 0 α1→0, α2→0,
. (6)
Из (5) также следует, что при переходе от центра к краю полубесконечного соленоида (на краю z=0,5L, α1=π/2, α2→0) напряженность уменьшается вдвое:
. (7)
Индукцию, магнитного поля получим, добавив к выражениям (5), (б), (7) формулу (1). Отметим, что вывод формулы (6) для бесконечно длинного соленоида получается существенно проще на основе закона полного тока.
Эффект Холла. Датчик Холла
Для измерения индукции магнитного поля применяют датчики Холла. Явление Холла позволяет оценить знак свободных зарядов, их концентрацию, подвижность и т. д. Эффект Холла состоит в следующем. Если кусок полупроводника в виде прямоугольной пластины (рис. 4) поместить в магнитное поле с индукцией В и пропустить через него ток Iд. (с плотностью j), то между противоположными сторонами пластины возникает разность потенциалов Δφ. Эта поперечная (относительно Iд и В) разность потенциалов пропорциональна магнитной индукции В, току I и обратно пропорциональна толщине пластины h:
, (8)
где постоянная Холла Rх зависит от свойств полупроводника.
Физическая природа эффекта Холла может быть сведена к действию силы Лоренца
,
где е - величина заряда – носителя тока в полупроводнике, 
- скорость дрейфа заряда вследствие протекания тока Iд. Под действием этой силы носители тока смещаются к верхней (рис.4) грани пластинки. У противоположной грани образуется избыточный заряд противоположного знака, вследствие чего образуется электрическое поле с напряженностью 
и возникает соответствующая сила Кулона 
, действующая на заряд в сторону, обратную F.л.
Процесс смещения зарядов по вертикали (рис.4) заканчивается, когда установится баланс сил FЛ=FК. Это условие позволяет рассчитать ЭДС Холла Δφ Баланс сил дает еЕ=evВ, но , значит, 
. Известно, что плотность тока 
, где n1 концентрация зарядов, 
. С учетом последнего, получим
, (9)
а постоянная Холла в формуле (8) 
. Чтобы получить побольше Δφ (для удобства измерений), применяет материалы с малой концентрацией носителей тока n1, в частности полупроводники (а не металлы, у которых n1 выше).
Если носитель тока - положительная дырка то полярность Δφ одна, если отрицательный электрон - полярность меняется на обратную. Значит, эффект Холла позволяет установить полярность носителей тока, таким образом было установлено, что у таких металлов, как железо, вольфрам, цинк, носители тока -положительные дырки, а у таких, как медь, алюминий, серебро, никель, - отрицательные электроны.
Силовые линии магнитного поля на оси соленоида (рис.2) направлены вдоль оси, поэтому датчик Холла должен располагаться на торце специального штока, вставляемого в соленоид. Ориентировочные размеры датчика показаны на рис.4. В работе используется полупроводниковый датчик Холла. Ток датчика Iд=0,1 А, толщина датчика h=12 мкм, материал с электронной проводимостью и постоянной Холла Rх=4,8·10-7 м3/Кл.