Определение предела функции в точке.
Запись определение предела, с использованием математической символики.
Геометрическая интерпретация.
Рассмотрим классическое определение предела (по Коши), которое во многих учебниках носит название 
определение предела 
. Существование конечного предела А у функции 
при стремлении 
обозначается следующим образом:
или в математической символике представляет собой следующую запись:
Так как 
, то 
находится как можно ближе к 
, но при этом 
(
, размер окрестности определяется величиной дельта 
.
Аналогично, изображается стремление функции 
к конечному пределу А.
Понятно, что эпсилон 
и дельта 
в данном определении предела величины положительные и сколь угодно малые и обозначаются маленькими буквами греческого алфавита.
Рассмотрим односторонние пределы. В этом случаи переменная стремится к конечному значению либо только слева, либо только справа. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:
Стремление справа означает: Стремление слева означает:
Рассмотрим определение предела функции при стремлении переменной к бесконечности 
. Существование конечного предела А у функции при стремлении обозначается следующим образом:
или в математической символике представляет собой следующую запись:
Так как 
стемится к бесконечности, величина дельта 
есть сколь угодно большое число и для наглядности в этом случае используем большую букву греческого алфавита. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:
функция 
стремится к конечному пределу А и величина эпсилон есть сколь угодно малая (рис.2).
Аналогично рассмотрим определение предела функции при стремлении переменной к плюс и минус бесконечности. Так как стремится к плюс или минус бесконечности, величина дельта есть сколь угодно большое число и для наглядности в этом случае используем большую букву греческого алфавита. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:
при стремление 
и при стремление 
Рассмотрим определение предела функции равного бесконечности, при стремлении переменной к конечной величине 
Существование бесконечного предела у функции при стремлении обозначается следующим образом:
или в математической символике представляет собой следующую запись:
Так как стемится к конечной величине , величина дельта 
есть сколь угодно малая и для наглядности в этом случае используем малую букву греческого алфавита. Предел функции стремится к бесконечности и величина эпсилон 
сколь угодно большое число, то обозначаются её большой буквой греческого алфавита. Геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:
В таблице 1. представлены все возможные варианты предела функции
с определением предела через математическую символику и геометрической интерпретацией.
Таблица 1.
| № | Предел функции 
| Определение предела использующее математическую символику | Геометрическая интерпретация предела функции
|
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
| 13 |
|
| 
|
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
|
Литература
1. Вся высшая математика. Том 1. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др.,М.: Из-во: Едиториал УРСС, 2002. — 328 с.
2. Математический анализ. Начальный курс/В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова,— 2-е изд., перераб., — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.