СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Законы арифметики.

Высшая арифметика исследует общие предложения о натуральных числах 1, 2, 3,... обычной арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема о том, что каждое натураль­ное число разлагается на простые множители и это разложе­ние единственно, и теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четы­рех точных квадратов.

Высшая арифметика — дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Законы арифметики выражаются следующим образом.

Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом. Операция сложения удовлетворяет двум законам:

а + b = b + а (коммутативный закон сложения),

а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативный закон сложения),

скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.

Умножение. Любые два натуральных числа а и b имеют про­изведение, обозначаемое а • b или ab, которое само является на­туральным числом. Операция умножения удовлетворяет двум законам:

ab = bа (коммутативный закон умножения),

а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения).

Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:

а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон).

Порядок. Если а и b — два натуральных числа, то или а равно b, или а меньше b, или b меньше а, и из этих трех возможностей осуществляется ровно одна. Утверждение «а меньше b» симво­лически выражается в виде а < b, в этом случае мы говорим также, что b больше а, символически: b > а. Основной закон, управляющий этим отношением порядка, таков:

если а < b и b < с, то а < с.

Имеются также два закона, связывающих отношение поряд­ка с операциями сложения и умножения:

если а < b, то а + с < b + с и ас < be.

каково бы ни было натуральное число с.

Сокращение. Два закона сокращения логически вытекают из законов порядка; однако они достаточно важны, и мы их точно сформулируем. Первый закон гласит:

если а + х = а + у, то х = у.

Это следует из того, что если х < у, то а + х < а + у, что противоречит предположению; невозможно также неравенство у < х; поэтому х = у. Тем же способом получаем и второй закон сокращения, утверждающий, что

если ах = ау, то х = у.

Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше а. Из первого закона сокращения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + х = а и b + у = а, то х = у. Результат вычитания b из а обозначается а - b. Правила действий со знаком минус, напри­мер а - (b - с) = а- b + с, вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.

Деление. Разделить число а на число b значит найти, если это возможно, такое число ж, что b х= а. Если такое число существует, то оно обозначается а/b. Из второго закона сокращения следует, что если деление возможно, то результат единственен.

Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сло­жение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умно­жения становится очевидным, если рассмотреть прямоуголь­ную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно ab или bа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис.2; в этой совокупности имеется a(b + с) предметов, их число складывается из ab и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциатив­ный закон умножения, утверждающий, что а(bс) = (аb)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изоб­раженный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна bс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а(bс). С другой сто­роны, имеется ab чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть (ab)c. Значит, a(bс) = (a,b)с, что и требуется доказать.

Законы арифметики имеете с принципом индукции (кото­рый рассмотрен далее) образуют основу для логического раз­вития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего полу­чить, подсчитав определенное число предметов двумя различ­ными способами, но таких результатов не очень много.