Закон Ньютона для внутреннего трения. Динамическая вязкость.

Пусть плоские слои жидкости, находящиеся на расстоянии ∆х, движутся со скоростями v₁ и v₂ (рис. 10.15). Тогда нижний слой будет ускорять движение среднего слоя, а верхний слой — замедлять его. В результате под действием сил внутреннего трения средний слой будет двигаться со скоростью v, большей v₁, но меньшей v₂.

При равномерном изменении скоростей движения слоев в направлении х значение grad v будет во всех точках среды одинаково и численно равно (v₂—v₁)/∆x, или ∆v/∆x.

Ньютон показал, что сила внутреннего трения, действующая на средний слой, прямо пропорциональна градиенту скорости я площади поверхности слоя ∆S. Математически закон Ньютона для внутреннего трения выражается формулой:

Величина η, выражающая зависимость силы внутреннего трения от рода вещества и от внешних условий, называется динамической вязкостью среды. Выведем единицу динамической вязкости η:

В СИ за единицу η принимается вязкость такой среды, в которой на площадь слоя в 1 м² действует сила внутреннего трения в 1Н при градиенте скорости, равном 1 с^-1. Вязкость среды зависит от ее температуры. Интересно отметить, что у газов она при нагревании возрастает, а у жидкостей уменьшается. Это указывает на то, что природа внутреннего трения в газах и жидкостях различна.

Вязкость газов обусловлена перелетом молекул из слоя в слой в результате их хаотического движения, которое они совершают помимо направленного движения со своим слоем. При этом молекулы, залетающие из нижнего слоя в средний (рис. 10.15), ускоряют его движение, а молекулы, залетающие из верхнего слоя в средний, замедляют его движение. Так как при повышении температуры скорость хаотического движения молекул возрастает, то вязкость газов увеличивается при нагревании.

В жидкостях переход молекул из слоя в слой тоже имеет место, но главной причиной вязкости жидкости являются силы взаимного притяжения ее молекул. Так как при нагревании жидкости расширяются, то силы взаимного притяжения их молекул при этом уменьшаются, чем и объясняется уменьшение вязкости жидкостей при повышении температуры. Например, вязкость воды при 0°С равна 17,75-10^-4 Па*с, а при 90°С составляет 3,20*10^-4 Па*с.

В 1840 г. французский ученый Л. Пуазейль показал, что объем жидкости, вытекающей через трубу при ламинарном течении, пропорционален четвертой степени радиуса трубы. В настоящее время формулу Пуазейля записывают в следующем виде:

V=(πr8/9lη)(p₁-p₂)t

Здесь V — объем жидкости, вытекающей через трубу с радиусом r и длиной l за время t при разности давлений в начале и в конце трубы ∆р=р₁—р₂. Формула (10.8) позволяет сравнивать вязкости различных жидкостей, протекающих через одну и ту же трубу, с помощью прибора, называемого вискозиметром.

 

Теплопроводность

Теплопроводность — это вид теплопередачи, при котором происходит непосредственная пе­редача энергии от частиц (молекул, атомов) более нагретой части тела к частицам его менее нагретой части.

Рассмотрим ряд опытов с нагревом твердого тела, жидкости и газа.

Закрепим в штативе толстую медную проволоку, а к проволоке прикрепим воском или плас­тилином несколько гвоздиков. При нагревании свободного конца проволоки в пламени спиртовки воск плавится, и гвоздики постепенно отпадают от проволоки. Причем сначала отпадают те, что находятся ближе к пламени, затем по очереди все остальные. Объясняется это следующим обра­зом. Сначала увеличивается скорость движения тех частиц металла, которые находятся ближе к пламени. Температура проволоки в этом месте повышается. При взаимодействии этих частиц с соседними скорость последних также увеличивается, в результате чего повышается температура следующей части проволоки. Затем увеличивается скорость движения следующих частиц и т. д., пока не прогреется вся проволока.

Следует помнить, что при теплопроводности само вещество не перемещается вдоль тела, пере­носится лишь энергия.

Рассмотрим теперь теплопроводность жидкостей. Возьмем пробирку с водой. Положим в нее кусочек льда и станем нагревать верхнюю часть пробирки. Вода у поверхности скоро закипит. Лед же на дне пробирки за это время почти не растает. Значит, у жидкостей теплопроводность невелика, за исключением ртути и жидких металлов.

Это объясняется тем, что в жидкостях молекулы расположены на больших расстояниях друг от друга, чем в твердых телах.

Исследуем теплопроводность газов. Сухую пробирку наденем на палец и нагреем в пламени спиртовки донышко. Палец при этом долго не чувствует тепла.

Это связано с тем, что расстояние между молекулами газа еще больше, чем у жидкостей и твердых тел. Следовательно, теплопроводность газов еще меньше.

Итак, теплопроводность различных веществ различна.

Наибольшей теплопроводностью обладают металлы, особенно серебро и медь. Если теплопро­водность различных веществ сравнивать с теплопроводностью меди, то окажется, что у железа она меньше примерно в 5 раз, у воды — в 658 раз, у пористого кирпича — в 848 раз, у свежевыпав-шего снега — почти в 4000 раз, у ваты, древесных опилок и овечьей шерсти — почти в 10 ООО раз, а у воздуха она меньше примерно в 20 000 раз. Плохой теплопроводностью обладают также воло­сы, перья, бумага, пробка и другие пористые тела. Это связано с тем, что между волокнами этих веществ содержится воздух. Самой низкой теплопроводностью обладает вакуум (освобожденное от воздуха пространство). Объясняется это тем, что теплопроводность — это перенос энергии от одной части тела к другой, который происходит при взаимодействии молекул или других частиц. В пространстве, где нет частиц, теплопроводность осуществляться не может.

Если возникает необходимость предохранить тело от охлаждения или нагревания, то применя­ют вещества с малой теплопроводностью. Так, ручки для кастрюль, сковородок изготавливают из пластмассы. Дома строят из бревен или кирпича, обладающих плохой теплопроводностью, а зна­чит, предохраняют помещения от охлаждения. На применении вакуума в качестве теплоизоля­ционного «материала» основано устройство термоса, или сосуда Дьюара, который был изобретен в 1892 г. английским ученым Джеймсом Дьюаром.

 

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентомтемпературы:

,

где Q – тепловой поток, выражается в Вт;

grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;

S – площадь поверхности теплообмена, м²;

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м К).

Градиент температуры получится характеризовать в виде векторнойсуммы составляющих по осям декартовых координат:

где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.

Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:

.

Знак «минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.

И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.

К явлениям переноса относятся теплопроводность, диффузия и вязкость. Ограничимся рассмотрением одномерных явлений переноса, когда перенос какой-либо величины происходит в одном направлении.

Проанализируем вначале макроскопический механизм этих явлений и описывающие их опытные закономерности.

1. Явление теплопроводности. В случае если в газе какие-либо внешние причины привели к возникновению неоднородности температуры, то молекулы газа в различных частях его объёма имеют различные значения кинœетической энергии хаотического движения. Молекулы, попавшие в результате хаотического движения из более нагретых областей газа в более холодные, при соударении с другими молекулами отдают им избыток кинœетической энергии. И наоборот, молекулы из более холодных областей газа, попадая в более нагретые, при столкновении увеличивают свою энергию. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, хаотическое тепловое движение молекул приводит к направленному переносу тепловой энергии от горячих областей газа к холодным.

Явление теплопроводности описывается уравнением Фурье:

.

(8.31)

Здесь dQ – количество теплоты, переносимой через площадку S за время dt; – градиент температуры, а k (каппа) – коэффициент теплопроводности. Знак "–" в (8.31) означает, что теплота переносится в сторону убыли температуры. В случае если в формуле (8.31) положить S=1, dt=1, , то k=dQ, ᴛ.ᴇ. коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, переносимому через единичную площадку за единицу времени при градиенте температуры, равном единице. Единицы измерения коэффициента теплопроводности устанавливается на основании (8.31): [k]=Дж/(м×с×К).

Явление диффузии. Диффузией принято называть процесс установления внутри газа равновесного распределœения концентрации примесных молекул.

Будем считать, что концентрация базовых молекул n в данном объёме газа всюду постоянна, в то время как концентрация примесных молекул n₀ распределœена по объёму неравномерно.

Процесс диффузии вызван хаотическим тепловым движением молекул, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ приводит к направленному переносу примесных молекул в сторону уменьшения их концентрации.

Явление диффузии описывается уравнением Фика

.

(8.32)

где dM – масса примеси, переносимая через площадку S за время dt; D – коэффициент диффузии, численно равный массе примеси, перенесенной через единичную площадку при dt=1 и ; – градиент плотности примесного газа; r₀=m₀n₀ – плотность примесного газа (парциальная плотность); m₀ – масса примесной молекулы.

Единицы измерения коэффициента диффузии [D]=м²/с.

3. Явление вязкости. Явление вязкости (или внутреннего трения) состоит в возникновении силы сопротивления между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Это явление возникает в результате переноса импульса, соответствующего направленному движению молекул, от одного слоя к другому (рис. 8.10). На этом рисунке u ₁ и u ₂ – скорости направленного движения молекул в различных слоях. В результате переходов типа 1 "медленная" молекула попадает в слой с более быстрыми молекулами и в результате столкновений отбирает у них часть импульса. По этой причине скорость направленного движения u ₂ уменьшается. При обратном переходе (переход 2) нижний слой убыстряется. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в результате обмена импульсами скорости направленного движения выравниваются.

Рис. 8.10.

Явление вязкости описывается уравнением Ньютона (см. формулу (5.9)).

Умножая уравнение (5.9) на dt и замечая, что по второму закону Ньютона импульс силы Fdt равен изменению импульса dК, получаем

.

(8.33)

Тем самым уравнение вязкости приведено к виду, аналогичному (8.31) и (8.32). Эти уравнения можно объединить, записав

.

(8.34)

где смысл G, m и g зависит от того, какое из явлений переноса (теплопроводность, диффузия или вязкость) рассматривается (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Явление переноса	Макрохарактеристика dG	Коэффициент переноса m	Градиент	Микрохарактеристика a
Теплопроводность	dQ	k
Диффузия	dM	D		m0
Вязкость	dK	h		mu

 

23. Работа газа во время изменения объема. Внутренняя энергия термодинамической системы. Первый закон термодинамики, его применение к различных изопроцессах в газах

Если газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние dl, то производит над ним работу dA = Fdl = pS dl = pdV (рис. 9.1), т. е.

dA = pdV. (9.3)

Рис. 9.1

Полная работа A, совершаемая газом при изменении его объема от V ₁ до V ₂,

. (9.4)

Изменение давления газа при его расширении можно представить графически (рис. 9.2).

Рис. 9.2

При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV,

т.е. определяется площадью заштрихованной полоски. Полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V ₁ до объема V ₂определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p (V) и прямыми V ₁ и V ₂.

 

Внутренняя энергия

Термодинамических систем

Тема 2 Энергетические характеристики

Внутренняя энергия термодинамической системы представляет собой сумму всех видов энергии движения и взаимодействия частиц, составляющих систему.

Это означает, что независимо от предыстории системы её энергия в данном состоянии имеет присущее этому состоянию значение, поэтому приращение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое всегда равно разности значений внутренней энергии в конечном и начальном состояниях независимо от пути перехода.

Таки образом,

. (2.1)

Внутренняя энергия является величиной аддитивной, т.е. внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий отдельных ее частей.

В термодинамике часто используется понятие удельной внутренней энергии, т.е. внутренней энергии для массы системы равной 1кг.

(2.2)

где ¾ масса системы, кг.

 

Каждое тело имеет вполне определенную структуру, оно состоит из частиц, которые хаотиче­ски движутся и взаимодействуют друг с другом, по­этому любое тело обладает внутренней энергией. Внутренняя энергия — это величина, характери­зующая собственное состояние тела, т. е. энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц си­стемы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа определяется по формуле U=3/2 • т/М • RT.

Внутренняя энергия тела может изменяться только в результате его взаимодействия с другими телами. Существуют два способа изменения внутрен­ней энергии: теплопередача и совершение механи­ческой работы (например, нагревание при трении или при сжатии, охлаждение при расширении).

Теплопередача — это изменение внутренней энергии без совершения работы: энергия передается от более нагретых тел к менее нагретым. Теплопере­дача бывает трех видов: теплопроводность (непо­средственный обмен энергией между хаотически движущимися частицами взаимодействующих тел или частей одного и того же тела); конвекция (перенос энергии потоками жидкости или газа) и излуче­ние (перенос энергии электромагнитными волнами). Мерой переданной энергии при теплопередаче яв­ляется количество теплоты (Q).

Эти способы количественно объединены в за­кон сохранения энергии, который для тепловых про­цессов читается так. Изменение внутренней энергии замкнутой системы равно сумме количества теп­лоты, переданной системе, и работы, внешних сил, совершенной над системой. D U= Q + А, где D U— изменение внутренней энергии, Q — количество теп­лоты, переданной системе, А — работа внешних сил. Если система сама совершает работу, то ее условно обозначают А'. Тогда закон сохранения энергии для тепловых процессов, который называется первым за­коном термодинамики, можно записать так: Q = Α' + D U, т. е. количество теплоты, переданное систе­ме, идет на совершение системой работы и измене­ние ее внутренней энергии.

При изобарном нагревании газ совершает ра­боту над внешними силами Α' = p(V₁-V₂) = pΔV, где

V₁, и V₂ — начальный и ко­нечный объем газа. Если про­цесс не является изобарным, величина работы может быть определена площадью фигу­ры, заключенной между ли­нией, выражающей зависи­мость p(V) и начальным и ко­нечным объемом газа (рис. 13).

Рассмотрим применение первого закона тер­модинамики к изопроцессам, происходящим с иде­альным газом.

В изотермическом процессе температура по­стоянная, следовательно, внутренняя энергия не ме­няется. Тогда уравнение первого закона термодина­мики примет вид: Q = А', т. е. количество теплоты, переданное системе, идет на совершение работы при изотермическом расширении, именно поэтому темпе­ратура не изменяется.

В изобарном процессе газ расширяется и ко­личество теплоты, переданное газу, идет на увеличе­ние его внутренней энергии и на совершение им ра­боты: Q = D U + А'.

При изохорном процессе газ не меняет своего объема, следовательно, работа им не совершается, т. е., А = О, и уравнение первого закона имеет вид:

Q = D U, т. е. переданное количество теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа.

Адиабатным называют процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. Q = 0, следо­вательно, газ при расширении совершает работу за счет уменьшения его внутренней энергии, следова­тельно, газ охлаждается, Α' = D U. Кривая, изобра­жающая адиабатный процесс, называется адиабатой.

 

24. Теплоёмкости идеального газа. Ср и Сv. Работа газа различных изопроцессах. Адиабатический процесс. Уравнение Пуасонна.

Отношение количества теплоты , полученного телом при бесконечно малом изменении его состояния, к связанному с этим изменению температуры тела , называется теплоемкостью тела в данном процессе:

.

Обычно теплоемкость относят к еди­нице количества вещества и в зависимо­сти от выбранной единицы различают:

удельную массовую теп­лоемкость c, отнесенную к 1 кг газа,

Дж/(кг·К);

удельную объемную теп­лоемкость c´, отнесенную к количеству газа, содержащегося в 1 м³ объема при нормальных физических условиях, Дж/(м³·К);

удельную мольную тепло­емкость , отнесенную к одному киломолю, Дж/(кмоль·К).

Зависимость между удельными теплоемкостями устанавливается очевидны­ми соотношениями: ;

Здесь — плотность газа при нормаль­ных условиях.

Изменение температуры тела при од­ном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера происходя­щего при этом процесса, поэтому тепло­емкость является функцией процесса. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного ко­личества теплоты. Численно величина с изменяется в пределах от +∞ до -∞.

В термодинамических расчетах боль­шое значение имеют:

теплоемкость при посто­янном давлении

,

равная отношению количества теплоты , сообщенной телу в процессе при по­стоянном давлении, к изменению температуры тела dT

теплоемкость при посто­янном объеме

, (1.5)

равная отношению количества теплоты, подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению темпе­ратуры тела.

В соответствии с первым законом термодинамики для закрытых систем, в которых протекают равновесные про­цессы , и

.

Для изохорного процесса (v =const) это уравнение принимает вид , и, учитывая (1.5), по­лучаем, что

,

т. е. теплоемкость тела при постоянном объеме равна частной производной от его внутренней энергии по температуре и характеризует темп роста внутренней энергии в изохорном процессе с увеличе­нием температуры.

Для идеального газа

Для изобарного процесса () из уравнения (2.16) и (2.14) получаем

или

Это уравнение показывает связь между теплоемкостями с_р и сv. Для иде­ального газа оно значительно упрощает­ся. Действительно, внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и не зависит от объема, поэтому и, кроме того, из уравнения состояния следует , откуда

.

Это соотношение называется уравнением Майера и является одним из основных в технической термодинамике идеальных газов.

В процессе v =const теплота, сооб­щаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в про­цессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на со­вершение работы против внешних сил. Поэтому с_р больше сv на величину этой работы.

Для реальных газов , по­скольку при их расширении (при p =const) совершается работа не только против внешних сил, но и против сил притяжения, действующих между моле­кулами, что вызывает дополнительный расход теплоты.

Обычно теплоемкости определяются экспериментально, но для многих ве­ществ их можно рассчитать методами статистической физики.

Числовое значение теплоемкости идеаль­ного газа позволяет найти классическая тео­рия теплоемкости, основанная на теореме о равномерном распределении энергии по сте­пеням свободы молекул. Согласно этой теоре­ме внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна числу степеней свободы мо­лекул и энергии kТ/2, приходящейся на одну степень свободы. Для 1 моля газа

,

где Nо — число Авогадро; i — число степеней свободы (число независимых координат, которые нужно задать для того, чтобы полно­стью определить положение молекулы в про­странстве).

Молекула одноатомного газа имеет три степени свободы соответственно трем состав­ляющим в направлении координатных осей, на которые может быть разложено поступатель­ное движение. Молекула двухатомного газа имеет пять степеней свободы, так как помимо поступательного движения она может вра­щаться около двух осей, перпендикулярных линии, соединяющей атомы (энергия враще­ния вокруг оси, соединяющей атомы, равна нулю, если атомы считать точками). Молекула трехатомного и вообще многоатомного газа имеет шесть степеней свободы: три поступа­тельных и три вращательных.

Поскольку для идеального газа , то мольные теплоемкости одно-, двух- и многоатомных газов равны со­ответственно:

; ; .

Результаты классической теории теплоем­кости достаточно хорошо согласуются с экспе­риментальными данными в области комнатных температур (табл. 2.1), однако основной вы­вод о независимости от температуры экспери­мент не подтверждает. Расхождения, особенно существенные в области низких и достаточно высоких температур, связаны с квантовым по­ведением молекул и находят объяснения в рамках квантовой теории теплоемкости.

Теплоемкость некоторых газов при t= 0°С в идеально-газовом состоянии

Газ	Число степеней свободы	Мольная теплоемкость, кДж/кмольК	k = ср /сv
Гелий Не		12,60	1,660
Аргон Аг		12,48	1,660
Кислород 02		20,96	1,397
Водород Н2		20,30	1,410
Азот М2		20,80	1,400
Метан СН4		26,42	1,315
Аммиак ЫН3		26,67	1,313
Диоксид угле- рода СО2		27,55	1,302

Эта теория устанавливает, прежде всего, несправедливость теоремы о равномерном распределении энергии по степени свободы в об­ласти низких и высоких температур. С умень­шением температуры газа происходит «вымо­раживание» числа степеней свободы молеку­лы. Так, для двухатомной молекулы происхо­дит «вымораживание» вращательных степеней свободы и она вместо пяти имеет три степени свободы, а следовательно, и меньшую внут­реннюю энергию и теплоемкость. С увеличени­ем температуры у многоатомных молекул про­исходит возбуждение внутренних степеней свободы за счет возникновения колебательно­го движения атомов молекулы (молекула ста­новится осциллятором). Это приводит к увели­чению внутренней энергии, а следовательно, и теплоемкости с ростом температуры.

Теплоемкость реального газа зависит от давления, правда, очень слабо.

Поскольку теплоемкость реального газа зависит от температуры, в термоди­намике различают истинную и среднюю теплоемкости.

Средней теплоемкостью с _ср данного процесса в интер­вале температур от t1 до t2 называется отношение количества тепло­ты, сообщаемой газу, к разности конеч­ной и начальной температур:

Выражение

*

определяет теплоемкость при данной температуре или так называемую истинную теплоемкость. Из * следует, что

поэтому

.

Для практических расчетов теплоем­кости всех веществ сводят в таблицы, причем с целью сокращения объема таб­лиц средние теплоемкости приводят в них для интервала температур от 0 до t.

 

Вычислим работу идеального газа при различных изопроцессах в соответствии с её определением

А = . (5)

1. Изотермический процесс.

Подставив в (5) выражение р из уравнения pV= ν RT ₀, получаем:

.

2. Изохорный процесс. Так как здесь V =const, то А =0.

3. Изобарный процесс. Так как здесь р =const= р ₀, то .

4. Адиабатный процесс.

Так как здесь Q =0. то работа газа совершается только за счёт его внутренней энергии:

А = Q −Δ U =−Δ U =−ν C_V Δ T =ν C_V (Т ₁− Т ₂). (6)

Отсюда видно, что при адиабатном расширении, когда А = p Δ V >0, газ охлаждается, т.е. Δ Т <0.

Если в формулу (6) подставить Т ₂ из уравнения адиабаты T ₁ V ₁^γ−1= T ₂ V ₂^γ−1, то получим ещё одно выражение для работы газа при адиабатном процессе:

А =ν С_VТ ₁(1−(V ₁/ V ₂)^γ−1) (получить самостоятельно).

 

Имеется два существенно различных вида воздействия, которые приводят к изменению состояния системы, ᴛ.ᴇ. к изменению термодинамических параметром: давления, объёма и температуры. Одно из них – совершение работы.

В термодинамики рассматривается перемещение частей макроскопического тела друг относительно друга. При совершении работы изменяется объём тела, скорость тела остается равной нулю, но скорость молекул газа меняется. Меняется и температура газа.

– работа газа при изобарном процессе

– изменение объёма

При рассмотрении газ совершает работу, отдает энергию окружающим телам. В случае если то над газом совершают работу, газ получает энергию.

– работа газа при изотермическом процессе

При изохорном процессе: тогда А=0.

Работа͵ совершаемая газом численно равна площади под кривой, изображающей изменения состояние в диаграмме p,V.

 

4. Адиабатический процесс. Если сосуд с расширяющимся газом теплоизолировать от окружающей среды, то теплообмен будет отсутствовать, т. е. Q = 0. Процесс, происходящий при соблюдении этого условия, называется адиабатическим.

Уравнение первого начала термодинамики при учете условия Q = 0 прини­мает вид

0 = ΔU + A или A = – ΔU. (109)

Следовательно, при адиабатическом процессе работа совершается только за счет внутренней энергии газа. При адиабатическом расширении газ совершает работу, а его внутренняя энергия и, следовательно, температура падают. При адиабатическом сжатии работа газа отрицательна (внешняя среда производит работу над газом), внутренняя энергия и температура газа возрастают.

Адиабатический процесс можно реализовать практически и при отсутствии хорошей теплоизоляции. Но тогда необходимо вести процесс столь быстро, чтобы за время его осуществления не произошел сколько-нибудь существенный теплообмен с внешней средой.

Теплоемкость при адиабатическом процессе

. (110)

Выведем уравнение кривой, изображающей адиабатический процесс на рV- диаграмме. Уравнение состояния моля газа имеет вид

pV=RT. (111)

При бесконечно малом изменении состояния совершаемая работа А = pdV, а изменение внутренней энергии, согласно (83), Δ U –> C_VdT. Подставляя эти значения A и ΔU в уравнение первого начала термодинамики (109), получим:

C_VdT + pdV = 0. (112)

Это есть уравнение адиабаты в дифференциальной форме. Поскольку оно содержит все три параметра — р, V и Т, — то для исключения одного из них воспользуемся уравнением состояния (111), предварительно продифференцировав его:

pdV + Vdp = RdT. (113)

Умножая уравнение (112) на R, а (113) — на С_V искладывая их, получим

(C_V + R)pdV + C_VVdp = 0. (114)

Принимая во внимание, что для идеального газа C_V + R = = С_р, разделим уравнение (114) на произведение C_VpV и введем обозначение

. (115)

Тогда (114) примет вид

. (116)

Учитывая, что постоянный множитель γ можно внести под знак дифференциала, преобразуем (116) к виду

d[γlnV + lnp] = 0. (117)

Отсюда следует, что величина, стоящая в скобках, должна быть постоянной. Обозначим эту константу как ln(const). Тогда

γlnV + lnp = ln(const). (118)

Учитывая, что γlnV = lnV^γ и потенцируя выражение (118), получим

pV^γ = const. (119)

Это и есть уравнение адиабаты. Его также называют уравнением Пуассона.

Поскольку γ > 1. то кривая, изображаемая этим уравнением (рис. 39), идет круче изотермы pV = const, которая для сравнения показана на том же чертеже штрих-пунктиром. Видно, что при адиабатическом расширении из точки I кривая (119) опускается ниже изотермы, т. е. газ охлаждается, а при адиабатическом сжатии кривая (119) поднимается выше изотермы, т. е. газ нагревается. Величина работы адиабатического процесса может быть особенно просто вычислена с помощью уравнения (109):

A = –C_VΔT =–C_V(T₂ – T₁) = C_V(T₁ – T₂). (120)

Используя формулу (115), выражение (120) можно преобразовать к виду:

(121)

Для нахождения же конечной температуры T₂ можно, комбинируя (111) и (119), получить соотношение

TV^γ–1 = const. (122)

Для одноатомного газа C_v = 12,5 кДж/(кмоль*К), С_P = C_v + R = 20,8 кДж/(кмоль*К), и показатель степени адиабаты равен примерно 1,67. Для двухатомных газов при обычных температурах . Для многоатомных газов при возбуждении их колебательных степеней свободы теплоемкости С_P и C_v имеют еще большие значения и показатель степени адиабаты

(123)

еще ближе к единице.

В быстроходных двигателях внутреннего сгорания и при истечении газов через сопла реактивных двигателей процесс расширения газа протекает настолько быстро, что его можно считать практически адиабатическим и рассчитывать по уравнению (119).

Рис. 39. Адиабата и изотерма

Так как у> 1, то из (122) следует, что при адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении — охлаждается. Это явление находит применение в дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путем адиабатического сжатия. Нагревание газа при адиабатическом сжатии объясняется тем, что во время сжатия над газом производится работа, которая идет на увеличение его внутренней энергии. А так как внутренний энергия идеального газа зависит только от температуры, то это увеличение внутренней энергии проявляется в повышении его температуры. Аналогично объясняется и охлаждение газа при адиабатическом расширении. Охлаждение газа при адиабатическом расширении используется в холодильных машинах.

 

Уравнение Пуассона