по теме «Криволинейный интеграл»

ПРАКТИКУМ

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x), [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t₁<t<t₂). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной s_i и постоянной плотностью f(x_i, y_i). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(x_i, y_i) s_i f(x,y) ds f(x,y) ds (1)

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода: общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

1) Кривая L задана параметрически: x = (t), y = (t), t₁ t t₂.

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

s = = и при n

s ds = dt

J = f(x,y) ds = f( (t), (t)) dt (2)

2) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b].

Тогда s = или ds = dx. В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx (3)

Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги: S = dx

Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x²/2 - 1, отсеченной осью Ох.

Решение.

Точки пересечения линий: (- ,0), (,0)

y = x²/2 – 1, y` = x, = , - x

S = dx = dx = + ln ()

Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам: x_c = , y_c = , где s – длина дуги. (4)

Имеем (x`_t)² + (y`_t)² = (1 – cos t)² + (sin t)² = 2(1 – cos t) = 4 sin²(t/2), тогда по (2)

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2 sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |₀^p = 4

x_c = = 2/4 (t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

y_c = = 2/4 (1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой: 1) y = ln (sin x) от x = /3 до x = 2 /3;

2) y = ln(1 – x²) от x = - ½ до x = ½; 3) x = t², y = t(t² – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz.

J = lim f(M_i) x_i f(x,y,z) dx; J = lim f(M_i) y_i f(x,y,z) dy

J = lim f(M_i) z_i f(x,y,z) dz

Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz (5)

Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.

Вычисление интегралов

1) Кривая L задана параметрически: x = (t), y = (t), z = (t), t₁ t t₂.

Тогда, dx = `dt, dy = `dt, dz = `dt и для плоской кривой имеем

Pdx + Qdy = [P( (t), (t), (t)) (t)` + Q( (t), (t), (t)) `(t)]dt (5)

2) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b]. Тогда dy = y`(x)dx и

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = [P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx (6)

Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

Пример 2. Вычислить , где L: y = x² +1 от точки А (0, 1) до точки В (1, 2)

Решение. y = x² + 1, dy = 2x dx, 0 x 1

J = = = = [2x⁴/4 + 4x²/2] = 2,5

Пример 3. Вычислить J = , где L: x = t², y = t, 1 £ t £ 2.

Решение. x = t², dx = 2t dt, y = t, dy = 1 dt, 1 £ t £ 2

J = = [ t² t 2t + t² 1 ] dt = [ 2t⁵/5 + t³/3 ] = 14

Задачи для самостоятельного решения

1) Вычислить , где L: y = x² + 1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2).

2) Вычислить , где L: y = x² от точки А(1, 1) до точки В(2, 4).

3) Вычислить , где L: y = x от точки А(2, 2) до точки В(3, 3)

4) Вычислить по любому пути от точки А(2, 3) до В(5, 5).

5) Вычислить , где L: x = 2 cos t, y = 2 sin t, t Î [0, p/2].

6) Вычислить , где L: x = t² + 1, y = t – 4, 1 £ t £ 2.

7) Вычислить , где L: прямая от А(1,1) до В(3,4).

Формула Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = (7)

позволяет криволинейный интеграл 2 рода по контуру L свести к двойному интегралу по области D, ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Пример 4. Вычислить J = -x²y dx + xy² dy, где L: x² + y² = R².

Решение. P = - x²y, P/ y = - x²,

Q = xy², Q/ x = y², Q/ x - P/ y = y² + x²

J = (y² + x²) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = = 2 R⁴/4

Пример 5. Вычислить J = , где L: y = x², y = 3.

Решение. P = xe^y, P/ y = xe^y

Q = 2x² y, Q/ x = 4xy, Q/ x - P/ y = x(4y – e^y)

D: y = x², y = 3; (- ; 3), (; 3)

Выберем коридор || Оу, его ширина - x ,

а движение по коридору от y = x² до y = 3.

D: - x , x² y 3

J = x(4y – e^y) dxdy = , J₁ = =

= x(2y² – e^y) = 18x – xe³ – 2x⁵ + x , J = [18x – xe³ – 2x⁵ + x ] dx =

= = sh

Задачи для самостоятельного решения

По формуле Грина вычислить следующие интегралы:

1) J = , где L: y = 6 – x², y = 3.

2) J = , где L: y = x², y = 2, x = 0.

3) J = , где L: x² + y² = x.

4) J = , где L: xy = 1, x = 0, y = 1, y = 2.

5) J = , где L: x² + y² = 4.

Условия независимости

от пути интегрирования криволинейных интегралов 2 рода вдоль кривой L от т.А до т.В:

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 (8)

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU (9)

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

= , = , = (10)

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу.Для этого проводят интегрирование dU от А(x₀,y₀,z₀) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов.