Виды событий. Полная группа событий

 

Событие – это предполагаемая особенность или предполагаемый результат протекания процесса.

Особенностями протекания процессов являются, например, отсутствие нарушений в процессе изготовления партии продукции, наличие наблюдателей за ходом голосования на избирательном участке. Результатами протекания процессов в этих примерах могут являться приемка или браковка партии продукции по результатам контроля выборки, проценты голосов, отданных за кандидатов в депутаты. О событиях можно говорить в будущем, настоящем и прошедшем времени. Например, произойдет отказ двигателя автомобиля во время поездки, происходит подводное извержение вулкана в определенной акватории Тихого океана, в 1591 г. произошло убийство (а не несчастный случай) царевича Дмитрия.

Говоря о событии, надо всегда представлять объекты, участвующие в описании процесса, и условия протекания процесса. В теории вероятностей такой процесс обычно называют испытанием (экспериментом, опытом). Мы тоже будем придавать термину “испытание” обычно широкий смысл, хотя в узком смысле слова испытание – это процесс, конструируемый исследователем с помощью задания определенного комплекса условий его протекания, среди которых есть воздействия на объекты исследований. Если воздействия на объекты исследований отсутствуют, то процесс часто называют наблюдением. К наблюдениям относятся и процессы, описанные историками.

Мы будем предполагать, что испытание можно провести (реально или мысленно) в одних и тех же условиях сколько угодно раз. Комплекс условий, при которых осуществляется испытание, в общем случае представляет собой систему из внешних данных и условий, задаваемых исследователем. Пусть, например, испытанием является выбор избирательного участка для анализа результатов голосования жителей, прикрепленных к данному участку. Внешними данными при этом являются законодательство о выборах, информация в СМИ о кандидатах (например, в мэры города), объемы финансирования избирательной кампании, масштабы агитации в целом по городу и т.д. В качестве условий, задаваемых исследователем, может быть выбрано наличие на избирательном участке наблюдателя от определенной политической партии.

Испытание может быть простым или сложным, т.е. состоящим из более мелких испытаний. Например, проверка налоговым органом одной торговой сделки предприятия является простым испытанием, а проверка нескольких торговых сделок до обнаружения незаконной сделки (или при фиксации числа проверяемых торговых сделок) является сложным испытанием.

События могут быть возможными и невозможными. Невозможным является, например, извлечение трех шаров из ящика, в котором всего два шара.

Достоверное событие – единственно возможное событие.

Случайное событие – одно из двух или более возможных событий.

Случайность события отчасти обусловлена наличием неконтролируемых условий испытания. Достоверное и невозможное события будут обозначаться, соответственно, W и . В дальнейшем они будут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Случайные события будем обозначать, как правило, большими начальными буквами латинского алфавита: A,B,C,….

Элементарное событие (исход) – событие, которое нельзя разложить на более простые (обозначают w).

Сложное событие – событие, которое можно разложить на более простые.

Пример. Событие, состоящее в получении месячного дохода в сумме 5,1 тыс. руб. является элементарным, а в интервале от 5 до 6 тыс. руб. – сложным.

Противоположное событие – событие, означающее, что некоторое событие A не произойдет или не произошло (обозначается ).

Пространство элементарных событий – множество {w} всех элементарных событий. Заметим, что {w}= W.

Любое событие A можно представлять как некоторое подмножество множества элементарных событий, поэтому для событий справедливы все операции и тождества алгебры множеств. Будем обозначать A×B – произведение событий (пересечение множеств); A+B – сумму событий (объединение множеств). Достоверное событие W, по сути, – единичное множество, невозможное – пустое. Противоположное событие является дополнением множества А до единичного множества, т. е. А + = W.

События могут быть равновозможными, если они имеют равные шансы произойти.

Определение 1. Два события A и B называются несовместными ( = ), если появление (наличие) одного из них исключает появление (наличие) другого в том же испытании (наблюдении).

Определение 2. Полная группа событий – это множество {A₁,·A₂,…,А_n} попарно несовместных событий, сумма которых является достоверным событием, т.е.

, где A_i·A_j= , i¹ j

Пример 1. Пусть испытание – это извлечение одной игральной карты из колоды. События A_i (i = 1,2,3,4), состоящие в извлечении пики, трефы, бубны или червы, образуют полную группу сложных равновозможных событий.

Пример 2. Испытание состоит в бросании на стол игральной кости (шестигранного кубика). Пусть событие A_i (i = 1,2,...,6) – выпадение грани с номером i. Тогда множество всех событий A_i представляет собой полную группу элементарных событий, причем неравновозможных, если центр тяжести смещён.

Пример 3. Пусть расследуется некоторое преступление, в совершении которого подозреваются два человека. Пусть событие П_i означает, что преступление совершил i- й человек (i =1,2). Тогда события A₁= ; A₂= ; A₃= ; A₄= образуют полную группу элементарных неравновозможных событий.

1.1.2. Классическое определение вероятности.

Геометрическая вероятность

 

Пусть имеется полная группа равновозможных событий – В_i (i=1,2,...,n) и некоторое событие А, такое, что А= , где 1 £ m £ n. События В_i (В_i Ì A), где i=1,2,...,m, назовем событиями, благоприятствующими событию A. Тогда можно дать следующее определение.

Вероятностью события A называется отношение числа m равновозможных событий, благоприятствующих событию A, к общему числу n равновозможных событий, т. е. .

Примечание. Этим определением можно пользоваться лишь в случае, когда есть уверенность в равновозможности событий В_i.

Пример. Вероятность извлечения пики при извлечении одной карты из колоды в 36 карт можно вычислять по-разному, в зависимости от разбиения на равновозможные события, но результат будет один и тот же: .

Урновая схема (модель). Ряд практических задач сводится к следующей модели. В урне имеется N шаров одинакового размера. Из них M белых. Из урны наугад (вслепую) выбирают n шаров без возвращения их в урну. Тогда вероятность того, что среди n шаров будет ровно m белых (m = 0,1,2,…, n):

,

где n₁ – общее число равновозможных событий, равное (числу сочетаний из N по n); m₁ – число равновозможных событий, благоприятствующих событию A_m (оно равно произведению числа сочетаний из M белых шаров по m на число сочетаний из (N-M) небелых шаров по (n-m)). Заметим, что события A_m (m = 0,1,2,…, n) попарно несовместны и , т.е. совокупность этих событий представляет собой полную группу событий (из нее можно исключить невозможные события).

Частный случай: M =1, m =1. Тогда

.

В качестве белых и небелых шаров могут быть приняты: годные и дефектные изделия; люди, голосующие «за» и «против»; всхожие и невсхожие семена; раскрытые и нераскрытые преступления; предприятия, скрывающие и нескрывающие свои доходы от налогообложения и т.д.

Примечание. Классическое определение понятия «вероятность события» часто дается через понятие элементарных событий (исходов). Но сочетание (в отличие от размещения), строго говоря, не является элементарным событием, если шары извлекаются по одному.

Пример. Пусть в урне 7 шаров. Из них 5 белых. Из урны наугад извлекли 3 шара. Тогда вероятность того, что среди трех шаров будет ровно 2 белых равна:

Вероятность того, что среди трех шаров не будет ни одного белого (т.е. m =0), можно записать сразу: , так как событие А ₀, состоящее том, что среди трех вынутых из урны шаров число белых шаров m =0, является невозможным (в урне всего 2 небелых шара и среди трех извлеченных шаров хотя бы один будет белым). Этот же результат получится и при использовании вышеприведенной формулы (так как ):

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания материальной точки в область gÎG n- мерного (n =1,2,3,…) пространства, если точка бросается наудачу в область G. Она определяется по формуле: , где m (*) – мера указанной области (мерой, в частности, может быть длина, площадь, объём). Геометрическая вероятность фактически является обобщением классической вероятности на случай, когда число элементарных событий бесконечно.

Пример. Пусть эксперты прогнозируют поступление налогов в бюджет в будущем году в размере от 20 до 30 млрд. руб. Появление любого числа из данного интервала они считают равновозможными событиями. Тогда вероятность того, что сумма налогов превысит число 22, равна: Р (N >22) = = 0,8

1.1.3. Частотное определение вероятности

Вероятностью события А называется предел отношения числа m появлений события А среди n испытаний, каждое из которых проводится в рамках одного и того же комплекса условий, при n® ¥, т.е. . При этом сходимость понимается не обычная, а по вероятности. Обычная сходимость последовательности к некоторому пределу означает, что для любого сколько угодно малого e всегда найдется такое значение N, начиная с которого все значения последовательности (при n > N), будут находиться внутри e -коридора, построенного вокруг предельного значения. В данном случае такое значение N отсутствует, но с ростом n вероятность выхода значения из e -коридора стремится к нулю.

Примечание. Ввиду того, что на практике число испытаний не может быть бесконечным, то в качестве вероятности события А часто принимают относительную частоту (частость), т.е. , которую иногда округляют.

Пример 1. Среди 100 изделий, изготовленных по одной технологии, при проверке обнаружено 5 дефектных. Тогда в качестве вероятности изготовления дефектного изделия по этой технологии можно принять

При изменении технологии, т.е. комплекса условий проведения испытаний, вероятность сначала может быть оценена экспертами, а затем, после накопления новых статистических данных, – аналогично предыдущему.

Пример 2. Из 1000 бросаний монеты в 495 случаях выпал «орел». Число 495 близко к 500, поэтому можно сделать предположение о равновозможности выпадения орла и решки при одном бросании монеты и значит можно принять .

1.1.4. Субъективная вероятность события

 

Это величина, оцениваемая экспертом или группой экспертов в долях или количестве шансов (обычно из 100), соответствующих этому событию. Эксперты при этом должны руководствоваться правилами: P (W)=1 (100%); P ()=0; если В Ì A,то P(В) < P(A); если A ₁, A ₂ ,..., A_n – полная группа событий, то

_.

Субъективные вероятности используются обычно по отношению к редким, особым событиям. Эксперты при этом привлекают информацию из аналогичных ситуаций.

1.1.5. Аксиоматическое определение вероятности

 

Потребность самых различных специалистов в едином определении понятия «вероятность», которое бы обобщило предыдущие три, впервые удовлетворил А. Н. Колмогоров. Данное им аксиоматическое определение базируется на использовании понятия поля событий (или s -алгебры) S, т.е. класса (системы) таких подмножеств пространства элементарных событий W, счетное число операций дополнения, объединения и пересечения с которыми всегда дает подмножество, не выходящее из этого класса, причем, WÎS. Исходя из этого, дается определение вероятности, как некоторой числовой функции, определенной на множествах поля S. Мы будем руководствоваться более простым определением.

Определение. Вероятностью P (A) любого события A (A W) называется число, удовлетворяющее следующим аксиомам:

Аксиома 1. P(A) ≥ 0.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события W равна единице: P (W) = 1.

Аксиома 3. Вероятность события A, являющегося объединением двух несовместных событий (А = В + С, где В×С=Æ), равна сумме вероятностей этих событий, то есть:

Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С)

Следствия: 1) (это следует из аксиом 2, 3).

2) Р(Æ)= 0 (это следует из аксиомы 3, если взять В = W, С = Æ = , а также следствия 1).

3) Р(В∙С)= 0, если В и С несовместны.

4) , если А_i (i=1,2,…,n) –полная группа событий.

5) Если В Ì A,то P(В) < P(A).

Действительно: P(A)= > P(В).

 

1.2. Условная вероятность. Основные формулы

1.2.1. Условная вероятность. Вероятность произведения

событий. Независимость событий.

 

Определение. Условной вероятностью называется вероятность события В, определяемая по формуле:

Вероятность произведения двух событий и условные вероятности связаны формулой умножения вероятностей:

Р(А×В)= Р(А/B)×P(B)=P(B/A)×P(A)

Следствие. Если события несовместны, причем Р(А) ¹0 и Р(В) ¹0,то Р(А/B)= 0 и P(B/A)= 0.

Пример. Пусть в магазине есть 5 автомобилей, 2 из которых имеют скрытый дефект, А – покупка дефектной машины первым покупателем, В – вторым. Очевидно, что Р(А)=Р(В)=2/5. Вероятность того, что оба покупателя получат дефектные машины, согласно классическому определению вероятности: Р(А×В)=m/n=1/10, так как n= =10, m=1. Тогда, используя формулу условной вероятности события В, получим: Р(В/А)= = 1/4. Кстати, если использовать классическое определение вероятности для вычисления вероятности события В при предположении, что первый покупатель купил дефектный автомобиль, то результат будет тот же.

Таким образом, условную вероятность можно называть также вероятностью события В при условии, что событие А произошло.

Если речь идет об условной вероятности события В, то это означает, что комплекс условий испытания, в ходе которого может появиться событие В, пополнен еще одним условием. Множество элементарных событий W при этом уменьшается или остаётся прежним. Условная вероятность может быть как больше, так и меньше безусловной.

Для n событий можно легко вывести следующую формулу:

Р(A₁, A₂,…,A_n)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁,A₂)×××P(A_n/A₁,…,A_n)

Определение 1. Событие A не зависит от события B, если Р(А/B)=P(A).

Независимость событий взаимна, т.е. если Р(А/B)=P(A), то P(B/A)=P(B).

Если события A и B независимы, то Р(А×В)=Р(А)×P(B) и наоборот.

Определение 2. События A ₁, A ₂ ,..., A_n называются попарно независимыми, если независимыми являются любые пары из этих событий.

Определение 3. События A ₁, A ₂ ,..., A_n называются независимыми в совокупности, если для любого их подмножества

.

Если это выполняется при k = 2, то события попарно независимы. Из независимости в совокупности следует попарная независимость, но не наоборот.

Пример. Подбрасываются две монеты. Пусть событие A ₁ – выпадет герб на первой монете, A ₂ – гербна второй, A ₃ – оба герба или обе решки. Тогда, используя классическое определение вероятности, находим: и . Здесь имеет место попарная независимость. Действительно, и т.д. Однако

.

Значит, события A ₁, A ₂, A ₃ не являются независимыми в совокупности.

 

1.2.1. Вероятность суммы событий

 

Сумма событий означает, что произойдет хотя бы одно из них. Для вероятности суммы двух событий справедлива формула:

Доказательство. Представим в виде суммы несовместных событий следующие события: A+B= , B= . Тогда

P(B)= . Отсюда . Наконец,

P(A+B)= , что и тр. доказать.

Для вероятности суммы трёх событий легко вывести формулу:

Интерпретацию можно осуществлять с помощью кругов Эйлера, начерченных для совместных событий:

Если воспользоваться тождеством де Моргана (дополнение объединения множеств равно пересечению дополнений), то можно записать:

P(A+B)=1–P()=1–P()

В общем случае аналогичная формула для вероятности того, что произойдет хотя бы одно из событий А_i, имеет вид:

P = 1–P

Эти формулы обычно более предпочтительны для использования.

Задача. Бизнесмен, вкладывая свой капитал в три не зависимых друг от друга акционерных общества, дает следующие оценки для вероятностей оказаться при этом в выигрыше: P(А₁)=0,9; P(А₂)=0,8; P(А₃)=0,7. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы в одном из вариантов вложения капитала.

Можно уверенно предполагать, что события А_i (i=1,2,3) независимы в совокупности. Тогда можно доказать, что независимы в совокупности и события . Значит, искомую вероятность можно определить следующим образом:

P(A₁+A₂+A₃)=1–P ()=1– P ()× P ()× P ()=1–0,1×0,2×0,3=0,994.

Частные случаи: 1. События А_i (i=1,2,,n) попарно несовместны. Тогда

.

2. События А и В независимы и их вероятности не равны 0. Тогда они совместны, так как Р(А×В)=Р(А)×P(B) ¹0.

3. Событие А влечет событие В: AÌB. Тогда P(A+B)=P(B). Это видно из нижеприведённого рисунка, а также следует из формулы

, так как Р(А×В)=Р(А).

 

 

 

1.2.3. Формула полной вероятности и формула Байеса

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события В, которое может произойти с одним из несовместных событий A_i, образующих полную группу событий (A_i называются гипотезами). Для вычисления такой вероятности применяется формула полной вероятности:

Здесь Р(В/A_i) – условные вероятности события В.

Доказательство. Представим событие B в виде суммы несовместных событий: . Тогда .

Задача 1. В двух районах области, первый из которых в два раза по численности больше второго, доля пенсионеров составляет, соответственно, 0,3 и 0,21. Это условные вероятности того, что случайно взятый житель из первого, соответственно, второго района, является пенсионером. Надо определить, какую долю будут составлять пенсионеры в районе после их объединения.

Обозначим A₁ – событие, состоящее в том, что случайно взятый житель из объединенного района ранее жил в первом районе. Аналогично – А₂. Очевидно, что Р(А₁)=2/3, Р(А₂)=1/3. Тогда доля пенсионеров в объединенном районе определится по формуле полной вероятности: Р(В)=

Условие данной задачи, как и многих других, можно легко перевести на язык урновой схемы, если под районами понимать урны, а под пенсионерами, например, – белые шары.

Формула Байеса: ,

где – априорные вероятности гипотез A_i (i=1,2,…n), – апостериорные вероятности (они условные) гипотез A_k, т. е. уточненные после получения информации о том, что событие B произошло. Очевидно, что =1. Формула Байеса следует из равенства (левая и правая части равны Р(А_k×В)):

, если заменить .

Задача 2. Пусть один из жителей объединенного района (см. предыдущую задачу) попал в реанимацию. Известно лишь, что он – пенсионер. Какова вероятность того, что он – житель первого из объединенных районов?

Эта вероятность определяется по формуле Байеса:

.

Применение формулы Байеса может дать большой эффект и в тех случаях, когда нельзя обойтись без использования экспертной информации. Надо лишь грамотно организовать получение экспертных оценок и иметь экспертов, имеющих вероятностное мышление. Эксперты обычно пытаются оценивать сразу апостериорные вероятности. Но в этом случае для получения достаточно точных оценок требуются широко эрудированные эксперты, что является обычно большой редкостью. Гораздо чаще встречаются эрудированные узкие специалисты. Одни из них способны достаточно точно оценить априорные вероятности, другие – условные. Формула Байеса позволяет объединить всю эту информацию и в результате получить гораздо более точные оценки апостериорных вероятностей.

Задача 3. При расследовании дела об ограблении с убийством было установлено, что это мог сделать один из трех рецидивистов. По оценке экспертов (с участием участкового милиционера) вероятности того, что на ограбление пошел i -ый рецидивист (i=1,2,3), соответственно, равны: Р(А₁)=1/2, Р(А₂)=1/4, Р(А₃)=1/4. По оценке других экспертов (психологов с участием работников колоний, в которых отбывали наказание рецидивисты) вероятности того, что i -ый рецидивист мог совершить убийство, если он пошел на ограбление, равны: Р(В/A₁)=2/5, Р(В/A₂)=1/6, Р(В/A₃)=1/5. Определить вероятности того, что преступление совершил i -й рецидивист.

Последнее предложение можно перефразировать следующим образом. Надо определить вероятности того, что i -ый рецидивист пошел на ограбление, если было совершено убийство. Это апостериорные вероятности гипотез А_i. Они должны определяться по формуле Байеса. В частности, при i=1 имеем:

 

1.3. Последовательности испытаний

1.3.1. Схема Бернулли

Схема Бернулли – это сложное испытание, являющееся последовательностью из n независимых испытаний, в каждом из которых фиксируется успех или неудача, причем вероятность успеха в каждом испытании одна и та же и равна p. Тогда вероятность события, состоящего в появлении ровно m успехов в n испытаниях, определяется по формуле Бернулли: , где – число сочетаний из n по m. Очевидно, что .

Наивероятнейшее число успехов в n испытаниях определяется как целая часть числа , т.е. . Если – целое, то наивероятнейшим числом является также m₀ –1. В этом случае .

Схемой Бернулли является, в частности, процедура последовательного извлечения из урны n шаров с возвращением в урну каждого шара, если в урне находится N шаров, из которых M белых. Урновая схема (выборка – без возвращения) равносильна схеме Бернулли при N, M , , так как можно показать, что: .

На практике в урновой схеме уже при N ³ 100, и небольших m часто можно пользоваться формулой Бернулли. Например, если N= 100, M= 1, n= 10, то для m= 1 получим:

; 0,0914,

а для m= 0: ; 0,9044.

Как видим, отличия незначительные.

 

1.3.2. Формулы Муавра-Лапласа

 

Локальная формула Муавра-Лапласа применяется для приближенного вычисления вероятностей в схеме Бернулли, если np(1-p)>9, :

где

Интегральная формула Муавра-Лапласа используется для вычисления вероятностей того, что число успехов окажется в интервале

,

где Ф(х) и Ф₁(х) - функции (интегралы) Лапласа, для которых составлены таблицы (см. приложение, табл.1П), причём

,

Имеют место равенства: Ф₁(х) = 0,5+Ф(х); Ф(–х) = –Ф(х); Ф₁(х) + Ф₁(–х) = 1.

Пусть событие А состоит в том, что окажется в интервале [ p–ε; p+ ε ]. Тогда .

 

1.3.3. Схема Пуассона

 

Это наблюдение за потоком редких мгновенных событий (появление двух и более событий за малый отрезок времени считается невозможным) в случае, когда вероятность появления m событий (успехов) (m=0,1,2,…) на разных отрезках времени одинаковой длины одна и та же и не зависит от количества предыдущих событий. Тогда вероятность появления m событий за время t находится по формуле Пуассона, представляющей собой закон редких событий:

; или ,

где – среднее число событий (успехов) в единицу времени.

Примеры: поток заявок на обслуживание, поток редких преступлений.

Примечание. Схема Пуассона может интерпретироваться как проведение эксперимента с пробой (воздуха, воды и т.д.), взятой из ограниченного объема (площади, длины). Тогда t – объем пробы, m – число каких-либо частиц.

Схема Бернулли при переходит в схему Пуассона, так как . На практике вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона при , p < 0,1 (или p > 0,9, но тогда надо (1– p) заменить на p).