МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский университет МВД РоССИИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Для написания контрольной работы слушателями заочной формы обучения
МАТЕМАТИКА
Ч. 2
По специальностям: 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит
Менеджмент организации
Налоги и налогообложение
Санкт-Петербург
Большакова Л.В., Шалагинова О.Б.
Методические рекомендации для написания контрольной работы слушателями заочной формы обучения. Математика. ч. 2. СПб.: Санкт-Петербургский университет МВД России, 2007 – с.
Методические рекомендации для написания контрольной работы составлены в соответствии с программой и тематическим планом второй частей учебной дисциплины «Математика» Санкт-Петербургского университета МВД России. В них приведен порядок оформления контрольной работы и контрольные задания.
Методические рекомендации предназначены для слушателей второго курса заочной формы обучения Санкт-Петербургского университета МВД России, обучающиеся по экономическим специальностям.
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены на заседании кафедры информационных систем, протокол № от ______ 2007 г.
© Санкт-Петербургский университет
МВД России, 2007
ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТЫ
В процессе изучения математики слушатели заочного отделения должны выполнить по одной контрольной работе на первом и втором курсах.
К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебнику. При этом необходимо руководствоваться следующими указаниями:
1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия, имя, отчество слушателя, вариант, номер контрольной работы и дата ее отправки в университет.
2. Каждый слушатель должен выполнять только свой вариант, в противном случае работа не засчитывается.
3. Решения задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
4. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4см.
5. В случае незачета работа на установочной сессии выдается слушателю, который обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные ошибки и недостатки. Все исправления делаются в конце данной работы в этой же тетради, либо (если места нет) в новой тетради, но с обязательным приложением старой работы.
6. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если все задачи будут в ней верно решены.
7. В период экзаменационной сессии на зачете или экзамене преподаватель имеет право потребовать устных пояснений ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.
Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у слушателя возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то можно обратиться к преподавателю для получения устной или письменной консультации. В случае письменной консультации в запросе следует, возможно, более точно указать характер затруднения.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Теория вероятностей
I. Случайные события и их вероятность.
Задача 1. Решить задачу, используя классическую формулу определения вероятности.
1-1. В коробке случайным образом расположены 11 одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наугад извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется только одно окрашенное.
1-2. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, случайно для проверки отбирают 3 приемника. Партия содержит 5 неисправных радиоприемников, которые от исправных приемников по внешнему виду отличить нельзя. Какова вероятность того, что в числе трех отобранных приемников будет два неисправных.
1- 3. Курсант пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы
и получил 2 вопроса, наугад выбранных из 25. Найти вероятность то-
го, что среди отобранных курсантов 3 отличника.
1-4. В группе 26 курсантов, среди которых 6 отличников. Комиссия по проверке знаний наугад по списку отобрала 4 человека. Найти вероятность того, что среди отобранных курсантов 3 отличника.
1-5. В магазине автомата 15 патронов, 5 из них – трассирующие. Последо вательность размещения патронов в магазине неизвестна. Выстреливаем 4 патрона. Какова вероятность того, что 1 патрон трассирующий, а остальные – нет?
1-6. Зенитноракетный комплекс состоит из 22 орудий, 7 из них современ-
ного образца. На позицию случайным образом отобраны 3 орудия.
Найти вероятность того, что 2 орудия из них будут современного об-
разца?
1-7. В карьере саперы нашли 15 снарядов. Стало известно, что 4 из них
взрывоопасны. Определить вероятность того, что саперы достали 2
взрывоопасных и 1 неопасный снаряд?
1-8. На полке случайным образом расположены 18 автоматов, из которых
6 без магазинов. Курсант наугад выбрал 4 автомата. Какова вероят-
ность того, что из выбранных только 2 автомата с магазином?
1-9. У комплектовщика находится 14 деталей по внешнему виду не отли-
чающихся друг от друга. По внутреннему устройству 5 из них первого
вида, остальные второго. Какова вероятрость того, что среди взятых
наугад трех деталей 2 окажутся первого вида?
1-10. Для занятий по тактике взяли 30 сигнальных патронов, среди которых случайным образом расположены 5 патронов зеленого цвета. Выстрелили 4 раза. Какова вероятность того, что 1 выстрел был произведен зеленым патроном?
1-11. Во время учебного боя, в котором участвовало 24 танка, 6 танков
оказались выведенными из строя. После боя, расположив танки в
случайном порядке, выбрали 3 танка. Какова вероятность того, что
выбрали 2 исправных, 1 неисправный (выведенный из строя) танк?
1-12. В темной комнате лежат 15 дынь, из которых 7 испорченных. Чело-
век случайным образом отбирает 4 дыни. Какова вероятность того,
что среди отобранных 1 окажется испорченной?
1-13. В ящике случайным образом расположены 12 гранат, 5 из которых
неисправны. Солдат наугад выбирает из ящика 3 гранаты. Опреде-
лить вероятность того, что 1 из выбранных гранат будет неисправна.
1-14. В группе 29 курсантов, из них 5 неуспевающих. Новый преподава-
тель приходит в группу и случайным образом вызывает к доске 4
курсантов. Определить вероятностьтого, что среди выбранных 1 не-
успевающий, остальные – успевающие курсанты.
1-15. В пирамиде 30 автоматов, из них 3 нечищенных. Комиссия для про-
верки наугад выбирает 4 автомата. Какова вероятность того, что
среди отобранных автоматов попадется только 2 нечищенных?
1-16. Во взводе из 28 человек 5 украинцев. Из взвода случайным образом
выбирают 3 человека. Определить вероятность того, что будут выб-
раны только 2 украинца.
1-17. Конструкторским бюро разработаны установки ПВО. Из 20 опытных
образцов – 12 передвижных и 8 стационарных установок. Опытные
образцы случайным образом распределены между частями. Одна из
частей получила 4 установки. Определить вероятность того, что из
полученных установок только 1 передвижная.
1-18. Известно, что в ящике из 21 снаряда 6- осколочных. Из ящика наугад
выбраны 3 снаряда. Определить вероятность того, что 2 из выбран-
ных снарядов осколочные.
1-19. В ящике лежало 30 гранат, 10 из них без запала. Для проверки слу-
чайным образом было взято 2 гранаты. Определить вероятность того,
что 1 из этих гранат оказалась без запала.
1-20. В группе биатлонистов из 30 человек 12 отдают предпочтение бегу,
остальные стрельбе. Случайным образом на соревнование отбирают
команду из 3 человек. Какова вероятность того, что среди отобран-
ных будут 2 человека, отдающих предпочтение бегу?
1-21. В цехе работают 7 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам нау-
гад отобраны 4 человека. Найти вероятность того, что среди отобран-
ных будут 3 женщины.
1-22. В отдел технического контроля поступило 17 книг, из которых 5 име-
ют дефект, незаметный на первый взгляд. Сотрудник отдела наугад
выбирает 4 книги. Найти вероятность того, что среди отобранных
книг будет только 1 с дефектом.
1-23. В вычислительной лаборатории имеется 19 калькуляторов, из кото-
рых 8 не работают. Для проведения занятий преподаватель наугад
выбирает 3 калькулятора. Какова вероятность того, что среди отоб-
ранных только 2 работают?
1-24. В партии содержащей 13 радиоламп, имеются 7 бракованных. Какова
вероятность того, что из 4 случайным образом выбранных радиоламп
1 окажется бракованной?
1-25. В конверте находится 20 фотокарточек, из которых 6 цветных. Фото-
карточки в конверте перемешаны случайным образом. Из конверта
наугад извлекают 3 карточки. Найти вероятность того, что среди из-
влеченных фотокарточек 2 будут цветными.
1-26. В подразделении имеются 10 практически одинаково подготовлен-
ных солдат и 5 в равной мере опытных сержантов. В разведыватель-
ную группу случайным образом отбирают 4 человека. Какова вероят-
ность того, что в группе окажется 1 сержант, остальные – солдаты?
1-27. Из 12 оставшихся на танке выстрелов с бронебойными спарядами 5
неисправны и по внешним признакам эти неисправности не устанав-
ливаются. Определить вероятность того, что из взятых для стрельбы
3 выстрелов 2 окажутся исправными, а 1 нет.
Задача 2. Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.
2-1. В первом взводе из 29 человек 7 сержантов. Во втором – из 28 человек 5 сержантов. Наугад из каждого взвода выбирают по одному человеку. Какова вероятность того, что хотя бы один из них сержант?
2-2. В двух лотереях по 28 билетов, из них в первой 10 проигрышных, во второй – 5. Наугад выбирают по одному билету из каждой лотереи. Какова вероятность того, что оба билета окажутся проигрышными?
2-3. Вероятность непопадания в цель ракеты, пущенной с первого самолета равна 0,2; со второго – 0,1. С каждого самолета пущено по одной ракете. Определить вероятность того, что хотя бы одна ракета попала в цель.
2-4. Два хоккеиста делают по одному броску в ворота. Вероятность попадания игроков в ворота равны: для первого – 0,8; для второго – 0,95. Определить вероятность того, что в результате одного броска каждого хоккеиста будет два промаха.
2-5. В первой партии из 29 кассет 3 без записи, во второй – из 15 кассет 4
без записи. Наугад выбираются из каждой партии по одной кассете.
Определить вероятность того, что среди отобранных хотя бы одна
кассета без записи.
2-6. Чемпион мира по шахматам проводит сеанс одноdременной игры. Сре-
ди участников игры 2 гроссмейстера. Вероятность победы чемпиона
над первым гроссмейстером равна 0,7, над вторым – 0,75. Какова ве-
роятность, что чемпион потерпит 2 поражения?
2-7. Почтальон вложил в 2 почтовых ящика по 20 корреспонденций. В пер-
вый ящик 17 писем и 3 открытки, во второй – 18 писем и 2 открытки.
Наугад из двух ящиков выбирают по одной корреспонденции. Какова
вероятность того, что обе вынутые корреспонденции оказались от-
крытками?
2-8. Две радиолокационные станции следят за одним объектом. Вероят-
ность обнаружить объект для первой станции равна 0,9, для второй –
0,95. Определить вероятность того, что хотя бы одна станция пропус-
тит объект.
2-9. Имеются 2 ящика, в каждом из которых по 20 пачек патронов, причем
в первом ящике 5 трассерных, во втором – 8. Случайным образом из
каждого ящика вынимают по одной пачке. Какова вероятность того,
что хотя бы одна из этих пачек трассерная?
2-10. По танкам ведут огонь 2 гранатометчика. Вероятность попадания
первого равна 0,9, второго - 0,6. Производится по одному выстрелу
из каждого гранатомета. Определить вероятность того, что будет два
промаха.
2-11. Имеются две партии, содержащие 30 и 25 радиоламп соответсвенно.
В первой партии – 4 бракованные, во второй – 5 бракованных радио-
ламп. Из каждой партии наугад выбирают по одной радиолампе. Ка-
кова вероятность того, что среди отобранных хотя бы одна бракован-
ная?
2-12. Детали проходят две операции обработки. Вероятность получения
брака на первой операции равна 0,01, на второй – 0,02. Найти веро-
ятность того, что полученная деталь без брака и после первой и пос-
ле второй операции.
2-13. В трех урнах находятся черные и белые шары: в первой – 3 белых и 4
черных; во второй – 5 белых и 2 черных; в третьей – 4 белых и 7
черных. Из каждой урны выбирают по одному шару. Какова вероят-
ность того, что они все черные?
2-14. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того,
что первый станок в течении смены не выйдет из строя равна 0,8;
для второго станка эта вероятность равна 0,95. Найти вероятность
того, что в течении смены сломается хотя бы один станок.
2-15. Имеются два взвода: в первом – 25 человек, из которых 4 сержанта;
во втором 26 человек, из которых 5 сержантов. Наугад из каждого
взвода выбирают по одному военнослужащему. Какова вероятность
того, что хотя бы один из них сержант?
2-16. С двух самолетов пускают ракеты. Вероятность попадания в цель ра-
кеты, пущенной с первого самолета равна 0,75, со второго – 0,9. Оп-
ределить вероятность того, что обе ракеты не попали в цель.
2-17. В первой лотерее из 34 билетов 20 выигрышных, во второй – из 25
билетов 15 выигрышных. Наугад выбирают по одному билету из
каждой лотереи. Какова вероятность того, что хотя бы один билет
будет выигрышным?
2-18. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что
первый станок в течении смены не выйдет из строя равна 0,7; для
второго станка эта вероятность равна 0,75. Найти вероятность того,
что в течении смены хотя бы один станок выйдет из строя.
2-19. В первой пирамиде имеется 15 автоматов и 10 пулеметов, во второй-
5 автоматов и 20 пулеметов. Наугад из каждой пирамиды выбирают
по одному оружию. Какова вероятность того, что выбраны оба пис-
толета?
2-20. Вероятность промаха при одном броске в ворота для первого хокке-
иста равна -0,12; для второго – 0,2. Каждый хоккеист делает по одно-
му броску в ворота. Какова вероятность, что будет хотя бы одно по-
падание?
2-21. Имеется две партии кассет. В первой – 17 с записью и 5 без записи,
во второй – 16 с записью и 4 без записи. Наугад выбирают из каждой
партии по одной кассете. Какова вероятность того, что обе кассеты -с
записью?
2-22. В сеансе одновременной игры, проводимой гроссмейстером, участву-
ют 2 мастера. Вероятность поражения гроссмейстера от первого мас-
тера равна 0,2, от второго – 0,25. Какова вероятность, что гроссмей-
стер одержит хотя бы одну победу?
2-23. В два почтовых ящика опущена корреспонденция: в первый 3 письма
и 10 открыток, во второй – 14 писем и 5 открыток. Наугад из двух
ящиков выбирают по одной корреспонденции. Какова вероятность
того, что, по крайней мере, одна из вынутых корреспонденций ока-
жется письмом?
2-24. За одним объектом следят две радиолокационные станции. Вероят-
ность пропустить объект для первой станции равна 0,04, для второй-
0,1.Определить вероятность того, что обе станции обнаружат объект.
2-25. В первом ящике находится 23 пачки патронов, из которых 4 трассер-
ных, во втором – 26 пачек, из которых 7 трассерных. Из каждого
ящика наугад вынимают по одной пачке. Какова вероятность того,
что обе пачки трассерные?
2-26. Вероятность попадания в танк для первого гранатометчика равна 0,95
второго- 0,85. Произвели по одному выстрелу из каждого гранатоме-
та. Определить вероятность того, что будет хотя бы один промах.
2-27. В первой урне 4 синих и 6 красных открыток, во второй – 5 синих и
2 красных, в третьей 7 синих и 12 красных. Из каждой урны выбира-
ют по одной открытке. Какова вероятность того, что они все крас- ные?
Задача 3. Решить задачу, используя формулу Бернулли.
3-1. Магнитофон работает на четырех батарейках. В течение месяца каждая батарейка независимо от остальных перегорает с вероятностью 0,15. Вычислить вероятность того, что в течение месяца перегорит 3 батарейки.
3-2. В мастерской имеется 10 моторов. Вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой равна 0,8. Найти вероятность того, в данный момент с полной нагрузкой работают 7 моторов.
3-3. Рабочий обслуживает 7 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течении часа равна 0,1. Найти вероятность того, что в течении часа ровно 5 станков потребуют внимания рабочего.
3-4. Игрок получил 8 колец, которые набрасывает на колышек. Вероятность попадания равна 0,2. Найти вероятность того, что будет ровно 6 попаданий.
3-5. По самолету производится 7 независимых выстрелов. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,6. Определить вероятность того, что будет ровно 4 попадания.
3-6. Вероятность того, что отобранная для проверки деталь будет стандартной, равна 0,8.Какова вероятность того, что из 7 взятых деталей 3 будут стандартными?
3-7. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что в 6 испытаниях ровно 2 прибора выйдут из строя.
3 - 8. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,12. Какова вероятность того, что сообщение из 8 знаков содержит ровно 3 искажения?
3 - 9. Хоккеист забивает гол с вероятностью 0,7. Произведено 11 бросков. Определить вероятность того, что произошло 8 попаданий.
3 - 10. Вероятность того, что мастер не допустит брак при изготовлении изделия, равна 0,9. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных мастером, в 6 изделиях не будет брака.
3 - 11. По лодке производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания в лодку при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что будет ровно одно попадание.
3 - 12. По статистическим данным установлено, что в данной местности 1 января пойдет снег с вероятностью 0,4. Определить вероятность того, что 1 января пойдет снег ровно 6 раз за 13 лет.
3 - 13. Какова вероятность того, что в серии из 14 бросков игрального кубика два очка выпадут ровно 8 раз?
3 - 14. Вероятность поражения важного объекта противника при пуске одной тактической ракеты равна 0,8. Планируется произвести 5 независимых пусков. Определить вероятность того, что попадание в объект произойдет 3 раза.
3 - 15. Встречаются два равносильных шашиста: X и Y. Какова вероятность того, что шашист X выиграет у шашиста Y семь партий из десяти?
3 - 16. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных волокон смеси будут ровно две окрашенных.
3 - 17. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 0,7. Определить вероятность того, что в 6 опытах из 7 будет удачный результат.
3 - 18. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем вероятность выпадения дождя в какой-нибудь день равна 0,4. Какова вероятность того, что из наугад взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
3 - 19. Батарея дала 14 независимых выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,6. Определить вероятность того, что будет 10 попаданий.
3 - 20. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут ровно 3 семени?
3 - 21. Ученица прядильщицы обслуживает 12 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретен в течении одной минуты 0,1. Найти вероятность того, что в течении одной минуты обрыв произойдет на 5 веретенах.
3 - 22. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течении часа равна 0,02. Телефонистка обслуживает 15 абонентов. Какова вероятность того, что в течении часа позвонят 6 абонентов.
3 - 24. Вероятность прибытия в аэропорт за одну минуту одного самолета равна 0,3. Найти вероятность того, что за 7 минут прибудет 6 самолетов.
3 - 25. Определить вероятность того, что в наугад выбранной семье, имеющей 6 детей, будет ровно 2 девочки. Вероятность рождения девочки и мальчика предполагаются одинаковыми.
3 - 26. Имеются 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном наудачу взятом ящике окажутся стандартные детали равна 0,7. Найти вероятность того, что в 18 ящиках детали окажутся стандартными.
3 - 27. Рабочий за смену изготавливает 11 деталей. Вероятность того, что деталь окажется высшего качества, равна 0,6. Определить вероятность того, что из всех, сделанных за смену деталей, 7 окажутся высшего качества.