Алгоритм решения линейного неравенства

Методические рекомендации к практическому занятию № 3

Решение неравенств и систем неравенств

Цель:Формирование умений решения неравенств и систем неравенств.
Тип занятия:практическое занятие
Планируемые результаты	Уметь	Знать
1. Применять свойства линейных, квадратных функций при решении неравенств 2. применять метод интервалов при решении неравенств всех видов и их систем.	1. Свойства линейной, квадратной функций. 2. Алгоритм решения линейных неравенств. 3. Алгоритм решения квадратных неравенств. 4. Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств. 5. Алгоритм решения систем неравенств.

Ход практического занятия

1. Подготовка своего рабочего места.

2. Совместная постановка цели занятия и планируемых результатов освоения темы.

3. Проверка домашнего задания: представление расчетно–графической работы, теоретический разбор материала по теме в форме беседы.

4. Формирование умений решения неравенств различных видов и их систем.

5. Контроль освоения умений: демонстрация практических умений преподавателю на оценку.

6. Подведение итога занятия.

7. Домашнее задание.

Обеспеченность занятия:

Основная учебная литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. орг. / Ш. А. Алимов [и др.]. – М: Просвещение, 2017 – 463 с.

Дополнительные источники:

1. Основы Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (3-е изд.) (в электронном формате) 2017. -Режим доступа: https://www.book.ru

Материально – техническое оснащение: доска, таблица «Виды неравенств».

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x<c		x∈(−∞;c)
x≤c		x∈(−∞;c]
x>c		x∈(c;+∞)
x≥c		x∈[c;+∞)

 

Алгоритм решения линейного неравенства

1.Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов: ax <b, ax≤b, ax> b, ax≥b.

2.Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

· Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤b:a.

· Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥b:a.

3. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

 

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6

−3x>12

Делим обе части неравенства на (-3) — коэффициент, который стоит перед x. Так как −3<0, знак неравенства поменяется на противоположный.

x<12:(−3)⇒x<−4

Ответ: x∈ (−∞;−4)

№2. Решить неравенство 6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x — любое число

2. x∈(−∞;+∞)

3. x∈ℝ

№2. Решить неравенство x+3(2−3x)> −4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x> −8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Это неравенства вида: ax²+bx+c>0, ax²+bx+c≥0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≤0, где a, b, c - некоторые числа, причем a≠0, x - переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения.

 

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение ax²+bx+c=0 и найти корни x₁ и x₂.
2. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >, <, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥, ≤, точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax²+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

№1. Решить неравенство x²≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

х²≥x+12

х²−x−12≥0

х²−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac= (−1)2−4⋅1⋅(−12)= 1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

х_1,2=−b±D2a= −(−1)±492⋅1= 1±72= [1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

х²−x−1= 62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)