Корреляция рядов динамики

Коррелировать непосредственно уровни двух рядов динамики можно лишь тогда, когда в каждом из них отсутствует автокорреляция, так как наличие последней может существенно повлиять на величину коэффициента, измеряющего зависимость между анализируемыми показателями. Поэтому прежде чем измерять корреляцию между x и y, каждый из рядов нужно проверить на автокорреляцию.

Рассмотрим пример об установлении связи между урожайностью зерновых (y) и количеством минеральных удобрений, внесенных на 1 га (x). Данные по сельскохозяйственным предприятиям за 1992-1996 г.г. и все расчеты приведены в таблице 2.15.

Таблица 2.15 (исходные данные)

Расчет показателей автокорреляции в рядах x и y

Решение

1.Проверим на автокорреляцию ряд x. Для этого параллельно со значениями x_t, запишем x_t-1, то есть сдвинутые на единицу. А чтобы ряд не укорачивался и характеристики не изменились, последнее значение x_t перенесем в первую строку значений x_t-1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции по формуле:

. Необходимые средние арифметические значения и суммы рассчитаем в табл. (графы 2, 5, 6). Находим r_a (расчетное):

= 0,203.

Таблица 2.15 (результаты расчета)

Расчет показателей автокорреляции в рядах x и y

По таблице приложения 7 в [1] находим, что для n=5 и 5%-го уровня значимости (α =0.05) табличное значение r_a= 0,253. Так как r_{a расч} < r_{a табл}, то делаем вывод об отсутствии автокорреляции в ряду x_t.

2.Проверим на автокорреляцию ряд y. Необходимые средние арифметические значения и суммы рассчитаем в табл. (графы 3, 7, 8, 9). Находим r_a (расчетное):

= = 0,246.

Так как и здесь r_{a расч} < r_{a табл}, делаем вывод об отсутствии автокорреляции в ряду y.

3.Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

, где величины числителя и знаменателя рассчитаем по формулам:

= = = =478,

= 5941/5 -31² = 227,2;

= 1069,86/5 – 14,48² = 4,3.

Отсюда

= = 0,96, т.е. зависимость между вариацией количества вносимых минеральных удобрений и вариацией урожайности зерновых в 1992-1996 гг. была очень большой.

4. Построим линию регрессии по уравнению прямой:

= а₀ + а₁*х

Рассчитаем параметры уравнения регрессии на основании системы

5 а₀ + 155 а₁ = 72.4

155 а₀ + 5941 а₁ =2394.7,

Решаем методом подстановки

155 а_о + 4805а₁ =2244.4, 1136 а₁ =150.3, а₁=0.13

Проверяем через коэффициент корреляции:

= 0,96*2,07/15,07= 0,13

а₀ = 14.48- 0.13*31 = 14.48- 4.03 = 10.45

Подставляем в уравнение значения х и рассчитываем теоретические значения У (графа 10). Сумма этих значений (72.45)

Таблица результатов

Год	Внесено мин. удобр.. кг/ га, xt	Урожай- ность ц/га, yt	xt-1	xt2	xtxt-1	yt-1	yt2	ytyt-1	= 10,45+ 0.13x
		17,2	(17)			(12,9)	295,84	221,88	17.21
		16,3				17,2	265,69	280,36	16.43
		14,4				16,3	207,36	234,72	13.57
		11,6				14,4	134,56	167,04	12.53
		12,9				11,6	166,41	149,64	12.66
∑		72,4				72,4	1069,86	1053,64	72.40
Cредние		14,48		1188,2			213, 972

отличается незначительно от эмпирических (72.4), что говорит о том, что параметры подобраны верно. Сделаем прогноз, приняв х= 30.

= 10.45+ 0.13* 30 =10.45+ 3.9 = 14.35.

5. Построим линии тренда для у и сделаем прогноз на 1998 год.

Уравнение имеет вид

Для расчета параметров по МНК запишем систему нормальных уравнений и построим вспомогательную таблицу для расчета необходимых сумм.

Таблица 1

Год	Y	Условное обозначе-ние време-ни, t	t2	Yt	= 18.47 – 1.33 t
	17,2			17.2	17.22
	16,3			32.6	15.85
	14,4			43.2	14.48
	11,6			46.4	13.11
	12,9			64.5	11.74
Сумма	72,4			203.9	72.4
					9.16

5а₀+15 а₁=72.4

15а₀+55а₁=203.9

15 а₀ +45 а₁ = 217.2

10 а₁= -13.3, а₁=- 1.33

5а₀ +15* (-1.37) = 72.4, 5а₀ - 20.55= 72.4, 5а₀=92.55, а₀= 18.59

=18.59 – 1.33 t

Рассчитаем выравненные по этому уравнению тренда показатели (графа 6)

Аналогично рассчитаем параметры при отсчете от времени от середины.

10 а1 = -13.3, а1 = -1.33

Таблица 1

Год	Y	Условное обозначе-ние време-ни, t	t2	yt
	17,2	-2		- 34.4	17,14
	16,3	-1		-16.3	15,81
	14,4				14,48
	11,6			11.6	11,82
	12,9			25.8	13,15
Сумма	72,4			-13.3	72,4
1998 прогноз					9.16

5ао =72.4, а₀ = 14.48

у _t=14.48 – 1.33 t

Теоретические показатели будут те же (графа6),а прогноз Отдичается незначительно.