Определенный интеграл и его свойства.
Формула Ньютона – Лейбница.
Вычисление площадей плоских фигур.
I. Определенный интеграл и его свойства.
Задача, которая приводит к понятию определенного интеграла.
Пусть на отрезке 
определена непрерывная и неотрицательная функция 
.
Определение. Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции 
, осью Ох (
) и отрезками прямых 
, 
.
П 
усть требуется найти площадь криволинейной трапеции.
Для этого разобьём отрезок 
точками 
на n частичных отрезков и положим 
, 
. Наибольшую из этих разностей обозначим через 
: 
. На каждом частичном отрезке 
выберем произвольную точку 
: 
. Произведение 
даст площадь прямоугольника с основанием 
и высотой 
, тогда приближённо площадь 
криволинейной трапеции 
равна сумме:
, 
.
Эта сумма называется интегральной суммой.
Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади 
криволинейной трапеции:
, 
. (1)
Определение. Если предел (1) интегральной суммы существует, не зависит от способа разбиения отрезка 
на части и от выбора точек в них, то этот предел называется определённым интегралом отфункции 
на отрезке 
и обозначается:
Таким образом,
.
При этом функция 
называется подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний граница, b – верхний граеица), x - переменной интегрирования.
Определение. Функция 
, для которой на отрезке 
существует определенный интеграл 
, называется интегрируемой на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла: если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то 
геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 
, снизу – отрезком оси 
, с боков – отрезками прямых 
, 
.
Свойства определённого интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию 
интегрируемой на отрезке .
1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:
.
2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:
.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:
, 
.
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:
.
5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:
, где 
.
6. Если функция 
- чётная на отрезке 
, то выполняется равенство
.
7. Если функция - нечётная на отрезке , то выполняется равенство
.
II. Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема.
Если функция 
интегрируема на отрезке 
и 
– первообразная функции 
на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:
.
Эта формула позволяет вычислить определённый интеграл, зная какую-либо первообразную для интегрируемой функции. Первообразную для функции 
можно найти, вычисляя неопределённый интеграл от этой функции.
Замечание.
Для краткости записи употребляется обозначение:
Таким образом,
определенный интеграл – это разность между значением первообразной в верхней и нижней границах, т. е. как F (b) - F (a):
.
Алгоритм вычисления определенного интеграла:
1. Найти соответствующий определенный интеграл используя свойства и формулы интегрирования, т.е неопределенный интеграл (не приписывая константу С).
2. Подставить в получившуюся первообразную верхнюю границу, затем нижнюю границу, а между ними знак «-».
3. Вычислить.
В результате вычисления определенного интеграла, получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определенный интеграл
1) 
.
2) 
.
3)
Решение:
4)
.
5)
III. Вычисление площадей плоских фигур.
Возможны следующие случаи:
