Умножение и деление многозначных чисел

Программные требования:

В процессе изучения умножения и деления многозначных чи­сел учащиеся должны усвоить

• основные устные и письменные приемы умножения и деления,
• овладеть соответствующими вы­числительными умениями и навыками, расширить, углубить и систематизировать знания о действиях умножения и деления, их свойствах, о взаимосвязях между результатами и компонентами действий, об изменении произведения и частного при изме­нении одного из компонентов.

Приемы умножения и деления многозначных чисел сущест­венно различны и значительно сложнее приемов сложения и вычитания многозначных чисел. Поэтому приемы умножения и деления многозначных чисел вводятся перемежаясь, при этом выделяются три этапа:

I этап - умножение и деление на одно­значное число;

II этап — умножение и деление на двузначные и трехзначные разрядные числа;

III этап — умножение и деле­ние на двузначное на «трёхзначное" число.

На каждом из данных этапов сначала изучается умножение, а затем деление.

На каждом этапе наряду с умножением или делением на­туральных чисел изучается умножение или деление величин на число.

В умножении и делении многозначных чисел выделяют част­ные случаи. К частным случаям умножения относят случай с нулями (нулем) в множителях: первый или второй множитель оканчивается нулями (87 600-4 и 376 -240), нули в середине вто­рого множителя (875-304), а также различные сочетания этих случаев (170-230; 1360-103). К частным же случаям деления относят случаи с нулями (нулем) в частном: частное оканчи­вается нулями (227 200:4 = 56 800); нули в середине частного (72 450:7=10350).

Умножение многозначных чисел на однозначное число.

Под­готовительная работа к изучению письменного умноже­ния сводится к повторению и обобщению ранее изученного ма­териала..

В это время обобщаются знания учащихся о конкретном смысле действия умножения. Выполняя упражнения на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и, обратно, про­изведения суммой, учащиеся, поясняют: умножить число 1,5 на 3 — значит взять число 15 слагаемым три раза: 15*3=15+15 + 15; умножить число а на 4 — значит взять его слагаемым 4 раза: а* 4= а + а +а + а. Обобщению знаний способствует ре­шение простых задач на умножение с буквенными данными, а также составление задач по выражениям вида a*b

Повторяются случаи умножения с единицей и нулем. Выпол­няя упражнения вида: 1 *12, 1*а, 14*1, с*1, 0*15, O*k, 13*0, b*0, учащиеся повторяют правила умножения чисел с едини­цей и нулем.

Рассматривается умножение разрядных чисел на однознач­ное: 400-2, 6000-3, 50000-7.

Включается умножение двузначного числа на однозначное, при этом учащиеся повторяют свойство умножения суммы на число: 13-4=(10+3).4-10-4 + 3-4-52.

Затем учащимся предлагается проверить, применимо ли из­вестное им свойство, если в сумме не два, а три, четыре и бо­лее слагаемых. Берутся упражнения с небольшими числами, на­пример:

1) (8 + 5 + 4)-3=17-3 = 51

2) (8+5 + 4)jM-3 + 5-3 + 4-3 = 51

Вычислив разными способами значения выражений, дети убеждаются, что умножение на число суммы трех, четырех и более слагаемых можно выполнить по известному им правилу: найти сумму и умножить ее на число или умножить каждое сла­гаемое этой суммы на число и полученные результаты сложить. Свойство умножения суммы на число на данной ступени изуче­ния умножения учащиеся могут применить самостоятельно к устному умножению многозначных чисел на однозначное, на­пример:

2100-3= (2000+100)-3 = 2000-3+100-3 = 6300 6007-4» (5000+7) -4-= 5000-4 + 7-4 = 20 028

Переход от устного умножения к письменному необходимо
построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущнось вычисли­тельного приема как при устном, так и при письменном умно­жении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях
используется свойство умножения суммы на число, но письмен­ное умножение начинается с низших разрядов, устное — с выс­ших. Кроме того, дети должны осознать, что к письменному ум­ножению обращаются в том случае, когда устно вычислять трудно.

418-3= (400+10+8)-3 = 400-3+10-3 + 8-3=-«.1200 + 30 + 24=1254

Далее предлагается решить еще раз этот же пример, пере­ставив разрядные слагаемые:

418-3= (8+10 + 400) -3 =

= 8-3+10-3 + 400-3-24 + 30+1200= 1254

МЕТОДИКА После этого учитель знакомит учащихся с письменным ум­ножением на однозначное число: показывает новую запись стол­биком и дает подробное объяснение решения этого же примера. Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту. Слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить детям, что умножение обозначается не только точкой, но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать точку).

Начинаем письменное умножение с единиц. Умножаем 8 еди­ниц на 3, получается 24 единицы. Это два десятка и 4 едини­цы. 4 единицы пишем под единицами, а 2 десятка запомним, 1 десяток умножим на 3, получим 3 десятка, да еще 2 десят­ка, получим 5 десятков. Пишем их под десятками, 4 сотни ум­ножаем на 3, получим 12 сотен. Это 1 тысяча и 2 сотни. 2 сот­ня пишем под сотнями и 1 тысячу пишем на месте тысяч. Про­изведение 1254.

От подробного объяснения решения примеров учащиеся под руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преоб­разований, например:

Надо умножить 578 на 4. Умножаю 8 на 4, получится 32.пишу, а 3 запоминаю. 7 умножу на 4, получится 28,да 3. Всего 31 пишу, а 3 запоминаю. Умножаю 5 на 4, получится 20, да 3. Всего 23; записываю 23. Произведе­ние 2312. Можно объяснить и так: четырежды восемь — трид­цать два. 2 пишу, 3 запоминаю. Четырежды семь — двадцать восемь и т. д. Запись можно выполнять и в строчку: 578-4 = = 2312.

В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам, что письменное умножение на однозначное число начинается с единиц а позднее разъяснить, почему"письменное умножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего, а не с высшего разряда. С этой целью один и тот же пример решают двумя способами:

Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе. Пусть на­до 42 300 умножить на 6.

Объяснение: подписываю второй множитель 6 под пер­вой отличной от нуля цифрой первого множителя, под циф­рой 3; в числе 42 300 содержится 423 сотни; умножаем 423 сотни на 6, получится 2538 сотен, или 253 800.

При решении аналогичных примеров с подробным объясне­нием надо обратить внимание детей, что в таких случаях вы­полняют умножение, не обращая внимания на нули, записан­ные в конце первого множителя, и к полученному произведе­нию приписывают справа столько же нулей, сколько их запи­сано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объ­яснение: трижды шесть—18, восемь пишу, 1 запоминаю, дваж­ды шесть... припишу справа два нуля, получится 253 800.

На данном этапе следует предлагать учащимся и умноже­ние однозначных чисел на многозначные: 9-136, 4-2836, 7-1230. При решении таких примеров используется переместительное свойство умножения: 136-9, 2836-4, 1230-7.

Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических единицах, например: 9 Т 438 кг-3; 7 км 438 м-6. Эти примеры можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наи­менований, величинами одного наименования и выполнить дей­ствие:

Первый способ чаще применяется на практике при умноже­нии величин, выраженных в единицах стоимости (18 руб. 25 коп.-•3=18 руб.-3 + 25 коп.-3 = 54 руб. 75 коп.). Второй же способ используется при решении задач, а также в дальнейшем при умножении величин на любое двузначное и трехзначное число. Умножение на разрядные числа. После того как учащиеся твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматрива­ются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400, 4000.

Умножение на 10, 100, 1000 здесь рассматривается в порядке повторения. Впервые этот прием раскрывается в связи с изу­чением нумерации многозначных чисел (см. с. 125).

При умножении на двузначные — четырехзначные разрядные числа используется свойство умножения числа на произведе­ние, например: 14х60= 14 х(6х10) = 14х6х10 = 840.

Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается вычислить разными способами значение выражения 16х(5х2). Под руководством учителя они находят значение выражения такими способами:

16- (5-2) = 16-10=160

16- (5-2) = (16-5) -2 = 80-2=160 16- (5-2) = (16-2) -5==32-5=160

Учащиеся замечают, что в первом случае они умножили чис­ло 16 на произведение чисел 5 и 2; во втором — число 16 ум­ножили на первый множитель 5 и полученное произведение умножили на второй множитель 2; в третьем — число 16 умножи­ли на второй множитель 2 и полученное произведение умножи­ли на первый множитель 5; значения выражений одинаковые. После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произве­дение, можно найти произведение и умножить число на по­лученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель».

ЭТАП

Предварительно вводятся подготовительные упражнения на
замену разрядных чисел произведением однозначного числа и
10 (100, 1000), например: 70=7Х0, 600=6Х100.,далее рассматриваются устные приемы умножения на раз­рядные числа. Например, надо 15 умножить, на 30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, получим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь удобнее умножить число 15 на первый множитель^:—на 3 и по­лученный результат 45 умножить на второй множитель — на 10, получится 450. Запись:

15-30= 15- (3-10) - (15-3) • 10-450

После изучения приемов устного умножения на разрядные числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается решить пример 546-30.

Будем вычислять письменно, запишем пример так: у 546 Число 546 сначала умножим на 3 и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3:

3ЭТАП

Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные числа выполняется так же, как и умножение на двузначные раз­рядные числа.

Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20-30, 400-50, 800-70, 4000-60 и т. д. Сначала при решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000. Такие при­меры записываются в строчку и решаются устно.

Аналогичным образом рассуждают ученики и при письмен­ном умножении в том случае, когда оба множителя оканчи­ваются нулями.

Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчиваю­щихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбро­сить эти нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих мно­жителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчи­вающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.

Умножение на двузначное и трехзначное число. Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму.

Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбира­ются более легкие случаи, например:

16; 12= 16-(10+2)* 16-10+16-2= 160+32= 192 Затем надо предложить более трудный случай, например: 87х64 = 87х(60+4) =87х60 + 87-4

Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учи­тель предлагает выполнить вычислении письменно:

87 х 87 5220

+ 348

^Х 60 4 5568

5220 348

Далее учитель показывает более короткую запись и дает со­ответствующее объяснение;

Здесь 87 и 64 — множители, 348— первое неполное про­изведение, 5220— второе неполное произведение, 5568— окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.

После решения нескольких примеров (134-46, 268-37, 451-32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается ну­лем, следовательно, при сложении неполных произведений еди­ниц всегда будет столько, сколько их в первом неполном про­изведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками.

Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.

После умножения на двузначное и трехзначное число нату­ральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один спо­соб: величину, выраженную в единицах двух наименований, вы­ражают в единицах одного наименования, умножают эту вели­чину на число и результат выражают в единицах двух наиме­нований, например:

При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо добиться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных

правила порядка выполнения действий; это­му Способствуют упражнения: «Запишите выражения и найди­те их значения — к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их