Определителем n-ого порядка матрицу А называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках,, составленных из первых и вторых индексов сомножителей: если сумма числа инверсий чётная, то слагаемое берётся со знаком +, если она нечётная, то слагаемое берётся с "-“.
Определитель n-ного порядка обладает теми же св-вами,что и опр. 3-го порядка.
Свойства. 1.Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы.
2.Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель равен 0. 3. Общий множитель какой либо строки определ.
можно вынести за знак определ. 4.Если помен. строки местами изменится знак определителя на противоп.5.если есть две одинаковые строки, то 0. 6.Если есть две пропорц -> 0. 7….8.Если Эл. Некот. Строки. Лин комб др. строки то 0. 9.Определитель не изменится если к нему добавить Эл. Другой строки.
Формула Лапласа. Сумма всех произведений Эл. Любой строки определителя на соответствующее алгебраическое дополнение равна этому определителю.
14. Обратная матрица. Свойства. Ее нахождение.
Назовём кдвадратную матрицу порядка n невырожденной, если её определитель не равен 0 и выполнено равенство АА-1=А-1А=Е, Е-ед матрица порядка n.
Свойства. (А-1)-1=А (АВ)-1=В-1А-1 (An)-1=(A-1)n (A-1)T=(AT)-1
Для вычисления обратной матрицы нужно составить присоединённую матрицу В, затем каждый её элемент разделить на число |A|.
15. Линейные системы. Формулы Крамера.
Линейной системой m уравнений с n неизвестных называется система вида
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
……………………………..
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, где a11,a12,…,amn коэффициенты системы. Матрица – основная матрица системы. Если все свободные члены равны 0 то система называется однородной если же хотя бы одно не равно 0 то неоднородная
Если система имеет решения она называется совместной, если нет несовместная. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой, система, имеющая более одного решения – неопределённая.
Решить систему это узнать совместна она или нет, и в случае совместимости найти множество всех решений.
Крамер. Рассмотрим сначала систему n линейных уравнений вида с n неизвестными отличным от нуля определителем основной матрицы. Покажем, что такая система имеет ед. решение, и единств.
получаем x=A-1b – матричной записью решения рассматриваемой системы. Использую теорему Лапласа находим, что путём последовательной заменой столбца свободных членов. Х1=D1/|A|(cвободный стбц на 1 месте)..Xn=Dn/|A|
16. Нахождение обратной матрицы и решение линейной системы методом Гаусса.
Матрицу необходимо свести либо к треугольному либо к трапециевидному виду. Если в некоторой строке, все элементы равны 0, то это свидетельствует о том что система несовместна. Так как ранг доп не равен рангу осн.
17. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Ранг матрицы.Максимальное число линейно- зависимых строк матрицы называется рангом матрицы и обозначается r=r(A). Из этого определения следует что ранг равен также максимальному числу линейно-зависимых столбцов.
Элементарные преобразования матрицы называются следующие операции:
а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
б)умножение строки(столбца) на число Альфа, не равное нулю.
в)прибавление к одной матрицы линейной комбинации других строк её строк.
г)транспонирование матрицы.
Вывод: элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.
Теорема о базисном миноре. Назовём базисными строками (столбцами) матрицы А любые её r линейно-независимых строк, где r - ранг матрицы. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении фиксированных r строк и k столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Её определитель называется минором к-го порядка А.
Если выбранными строками и столбцами являются базисные, то и соответствующий минор называется базисным.
Теорема. Для того чтобы ранг матрицы А был равен r, необходимо и достаточно, чтобы существовал отличный от нуля минор порядка r, а всякий минор r+1-го порядка был равен нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть r(A)=r. Это значит, что матрица А имеет r линейно зависимых строк и столбцов, а любые r+1 строк или столбцов линейно-зависимы. Тогда на основании теоремы о равенстве кол-ва линейно-зависимых строк и столбцов существует минор r-го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1-го порядка равен нулю.
Достаточность. Пусть существует минор r-го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1 го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1 –го порядка равен нулю. Тогда матрица имеет r линейно – независимых строк. Если при этом предположить существование ещё одной r+1й строки, образующей с данными r строками rлинейно-независимую систему, то найдётся минор r+1 го порядка, отличный от нуля, что противоречит условию.