Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Вычисление площади плоской фигуры

(задание 5)

С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Вычисление плоской фигуры в декартовой системе координат

Пусть на отрезке задана непрерывная функция , причём . Фигура, ограниченная сверху графиком , снизу – осью Оx, сбоку прямыми , (рис. 1а), называется криволинейной трапецией.

Геометрическим смыслом определённого интеграла являетсяплощадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , а сбоку прямыми , (рис 1.б), то её площадь вычисляется по формуле

Частным случаем при этом является нахождение площади фигуры, ограниченной сверху осью Оx, снизу – графиком функции , а сбоку прямыми , (рис 1.в). В этом случае, в предыдущую формулу следует подставлять , тогда формула для вычисления площади такой фигуры имеет вид

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций (рис. 1г).

, где , .

а) б) в) г)

Рис. 1

Пример 25

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .

Решение

1. Вершиной параболы является точка

2. Точки пересечения параболы и прямой находятся из системы

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

4. Сверху фигура ограничена прямой , значит , снизу – параболой, значит .

По графику видно, что , .

1способ: площадь полученной фигуры можно вычислить по формуле:

Рис. 2

2 способ: полученная фигура симметрична, значит

Пример 26

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью Оx.

Решение

1. Вершиной параболы является точка

Замечание: координаты вершины параболы , находятся по формулам

2. Точка пересечения параболы и прямой находится из системы

Точка пересечения параболы и прямой находится из системы

Точки пересечения параболы с осью Оx () находятся из системы

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

4. Площадь искомой фигуры складывается из площадей и .

Рис. 3

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева осью Oy, справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми , соответственно (рис. 4а), то её площадь вычисляется по формуле

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева графиком функции , справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми , соответственно (рис. 4б), то её площадь вычисляется по формуле

а) б)

Рис. 4

Пример 27

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой и осями координат.

Решение

1. Вершиной параболы является точка

Замечание: координаты вершины параболы , находятся по формулам

2. Точка пересечения параболы и прямой находится из системы

Точка пересечения параболы с осью Оx () находится из системы

Точка пересечения параболы с осью Оy () находится из системы нет решения

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

Рис. 5

4. Слева фигура ограничена параболой, справа – осью Oy, снизу – прямой , сверху – осью Оx Таким образом, подставляя в формулу 6: , , , , получим

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Возьмём на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведём луч Ох (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берётся радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:

1. числом – полярный угол (он имеет положительное значение при повороте против часовой стрелки);

2. положительным числом – полярный радиус.

Пара чисел – это полярные координаты точки М.

Каждой паре значений отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное .