Сравнение с решением, найденным при помощи встроенных функций

Постановка задачи

Используя теорему Куна-Таккера и встроенные функции минимизации математического пакета WolframMathematica, найти минимум функции

При следующих ограничениях:

Полученные результаты представить в виде отчета, включающего в себя:

1.Иcследование выпуклости целевой функции и функций-ограничений;

2.Исследование регулярности области;

3.Пошаговое решение с использованием теоремы Куна-Таккера;

4.Исследование найденных решений;

5.Сравнение с решением, найденным при помощи встроенных функций.

Исследование выпуклости целевой функции и функций-ограничений

Рассмотрим множество ограничений:

Ограничения не аффины, следовательно, проверим их на выпуклость:

Рассматривая имеем собственные числа разных знаков (), Гессиан не является неотрицательно-определенным, значит множество ограничений невыпукло.

Поскольку множество ограничений не выпукло, то рассматривать целевую функцию на этом множестве не имеет смысла, так как на невыпуклом множестве целевую функцию невсегда можно проверить на выпуклость.

Иcследование регулярности области

Мы не будем рассматривать регулярность области, поскольку область невыпукла.

Пошаговое решение с использованием теоремы Каруша- Куна- Таккера

Рассмотрим задачу о нахождении допустимых значений x, при которых

функция Q(x)достигает минимума в области .
Запишем задачу в виде: предполагая, что минимум существует.

Теорема Каруша-Куна-Такера будет носить необходимый характер, поэтому нам надо перебрать все возможные комбинации активных ограничений, чтобы найти минимум функции.

Решать получившиеся системы будем численно в пакете Матлаб при помощи функции vpasolve();

1. Пусть =1.

2. Выберем активные ограничения:

1. I = { }

Получим систему