Анализ взаимосвязи между порядком ЦФ и требованиями к АЧХ

Выполнить для КИХ-фильтра ФНЧ, синтезированного методом чебышевской аппроксимации (см. п. 3).

Синтезировать КИХ-фильтры и записать их порядки:

при удвоении частоты дискретизации и неизменности остальных требований к АЧХ;

при исходной частоте дискретизации, увеличенной вдвое граничной частоте ПП и неизменности остальных требований к АЧХ;

при исходных частоте дискретизации, граничных частотах ПП и ПЗ и уменьшенном вдвое максимально допустимом отклонении в ПП.

Пояснить, как и почему изменился порядок фильтра в каждом из этих случаев.

Изобразить, как изменяется ИХ фильтра и переходной процесс:

при изменении исходных данных таким образом, чтобы увеличилась или уменьшилась узкополосность АЧХ фильтра и неизменности остальных требований к АЧХ;

при изменении исходных данных таким образом, чтобы увеличилась или уменьшилась прямоугольность АЧХ фильтра и неизменности остальных требований к АЧХ.

Вычисление реакции КИХ-фильтра ФНЧ на тестовое воздействие

Написать m- функцию, вычисляющую реакцию КИХ-фильтра ФНЧ на тестовое воздействие в виде периодической последовательности с периодом N = 64: .

Входные параметры m- функции:

вектор коэффициентов КИХ-фильтра;

частота дискретизации f _д (совпадает с заданной в требованиях к АЧХ КИХ-фильтра);

амплитуды гармоник A ₁ и A ₂;

частоты гармоник f ₁ и f ₂.

Вводимые значения частот должны быть согласованы с граничными частотами в требованиях к АЧХ КИХ-фильтра. Частота f ₁ должна быть расположена в ПП, а частота f ₂ — в ПЗ. При этом числа должны быть целыми числами.

Реакцию КИХ-фильтра y (n) вычислить с помощью функции filter.

Вывести графики воздействия и реакции КИХ-фильтра.

Выходными параметрами m- функции являются векторы отсчетов воздействия и реакции.

Вычисление амплитудных спектров воздействия и реакции КИХ-фильтра ФНЧ

Написать m- функцию, вычисляющую амплитудные спектры воздействия и реакции КИХ-фильтра ФНЧ для пункта 8.

Входные параметры m- функции: векторы отсчетов воздействия и реакции КИХ-фильтра.

Вывести графики амплитудных спектров.

Фильтрация шумов

Выполнить пункты 8 и 9 при наличии аддитивного шума, имеющего равномерный закон распределения и амплитуду ~10% от A ₁ + A ₂.

Вывести совмещенные графики амплитудных спектров при наличии и отсутствии шума.

Результат выполнения

4.1 Синтез КИХ-фильтра методом окон с использованием окна Кайзера

Рис.1 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 1 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон, состоит из двух сегментов, переход происходит на частотах 0.72…1.1 КГц. Отклонения АЧХ не превышают заданные максимально допустимые отклонения.

Рис.2 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 2 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон, имеет скачок амплитуды ~0.26 в момент времени t ~5.9 мс.

Представленная на рисунке 3 ФЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон, состоит из двух сегментов: сегмент линейного отрицательного изменения фазы на частотах 0…1.07 КГц и сегмент гармонических колебаний фазы.

Рис.3 ФЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон

Рис.4 АЧХ Highpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 4 АЧХ Highpass -фильтра, полученная методом окон, состоит из двух сегментов, переход происходит на частотах 0.74…1.1 КГц.

Рис.5 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 5 ИХ Highpass -фильтра, полученная методом окон, имеет скачок амплитуды ~0.68 в момент времени t ~5.08 мс.

Рис.6 ФЧХ Highpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 6 ФЧХ Highpass -фильтра, полученная методом окон, состоит из двух сегментов: сегмент гармонических колебаний фазы на частотах 0…0.78 КГц и линейного отрицательного изменения фазы на частотах от 0.78 КГц.

 

Рис.7 АЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 7 АЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом окон, состоит из пяти частотных сегментов: два сегмента с минимальной амплитудой на частотах 0…0.46 КГц, возрастание амплитуды от ~0 до ~1 на частотах 0.46…0.81 КГц, сегмент с амплитудой ~1 на частотах 0.81…1.66 КГц и падение значения амплитуды c ~1 до 0 на частотах 1.66…2.05 КГц.

Рис.8 ИХ Bandpass –фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 8 ИХ Bandpass -фильтра, полученная методом окон, имеет скачок амплитуды до ~0.41 в момент времени t ~5.08 мс.

Рис.9 ФЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 9 ФЧХ Bandpass- фильтра, полученная методом окон, состоит из трех сегментов: два сегмента гармонических колебаний фазы на частотах 0…0.48 и 2…∞ КГц соответственно и линейного отрицательного изменения фазы на частотах 0.48…2 КГц.

Рис.10 АЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 10 АЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом окон, состоит из пяти частотных сегментов: два сегмента с максимальной амплитудой на частотах 0…0.45 КГц и 2.02…∞ КГц соответственно, падение амплитуды с ~1 до ~0 на частотах 0.45…0.78 КГц, полоса с амплитудой ~0 на частотах 0.78…1.67 КГц и возрастание значения амплитуды c ~0 до ~1 на частотах 1.67… 2.02 КГц.

Представленная на рисунке 11 ИХ Bandstop -фильтра, полученная методом окон, имеет скачок амплитуды до ~0.58 в момент времени t ~5.08 мс.

Рис.11 ИХ Bandstop –фильтра, полученная методом окон

Рис.12 ФЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом окон

Представленная на рисунке 12 ФЧХ Bandstop- фильтра, полученная методом окон, состоит из трех сегментов: два сегмента линейного отрицательного изменения фазы на частотах 0…0.77 и 1.7…∞ КГц соответственно и сегмент гармонических колебаний фазы на частотах 0.77…1.7 КГц.

4.2 Синтез БИХ-фильтров

Рис.13 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 13 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из двух частотных сегментов, переход происходит на частотах 0.74…1.06 КГц.

Рис.14 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 14 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, имеет вид неправильной затухающей синусоиды с максимальным скачком амплитуды до ~0.26 в момент времени t ~0.67 мс.

Рис.15 ФЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 15 ФЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из четырех сегментов: три сегмента плавного отрицательного изменения фазы на частотах от 0 до 0.65 КГц, 0.74 КГц и 1.08 КГц соответственно, и сегмент гармонических колебаний на частотах 0.74…1.08 КГц.

Представленная на рисунке 16 АЧХ Highpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из двух частотных сегментов, переход происходит на частотах 0.76…1.12 КГц.

Рис.16 АЧХ Highpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Рис.17 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 17 ИХ Highpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, имеет вид неправильной затухающей синусоиды с максимальным скачком амплитуды до ~-0.55 в момент времени t ~0.16 мс.

Рис.18 ФЧХ Highpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 18 ФЧХ Highpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из двух сегментов: сегмент гармонических колебаний фазы на частотах 0…0.51 КГц и сегмента плавного убывания фазы на частотах от 0.77 Кгц.

Рис.19 АЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 19 АЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из пяти частотных сегментов: два сегмента с минимальной амплитудой на частотах 0…0.61 КГц, возрастание амплитуды от ~0 до ~1 на частотах 0.61…0.8 КГц, полоса с амплитудой ~1 на частотах 0.8…1.65 КГц и падение значения амплитуды c ~1 до 0 на частотах 1.65…1.88 КГц.

Рис.20 ИХ Bandpass –фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 20 ИХ Bandpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, имеет вид неправильной затухающей синусоиды с максимальным скачком амплитуды до -0.29 в момент времени t ~1.18мс.

Рис.21 ФЧХ Bandpass -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 21 ФЧХ Bandpass- фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из пяти сегментов: сегмент убывания фазы на частотах от 0 до 0.48 КГц, два сегмента гармонических колебаний фазы на частотах 0,48…0.63 КГц и 1.88...2.13 КГц соответственно, и сегмент плавного отрицательного изменения фазы на частотах 0.63.1.88 и от 2.13 КГц.

Рис.22 АЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 22 АЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из пяти сегментов: два сегмента с максимальной амплитудой на частотах 0…0.44 КГц и 2.03…∞ КГц соответственно, падение амплитуды с ~1 до ~0 на частотах 0.44…0.62 КГц, полоса с амплитудой ~0 на частотах 0.62…1.76 КГц и возрастание значения амплитуды c ~0 до ~1 на частотах 1.76…2.03 КГц.

Рис.23 ИХ Bandstop –фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 23 ИХ Bandstop -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, имеет вид неправильной затухающей синусоиды с максимальным скачком амплитуды ~0,38 в момент времени t ~067 мс.

Рис.24 ФЧХ Bandstop -фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра

Представленная на рисунке 24 ФЧХ Bandstop- фильтра, полученная методом Золотарёва-Кауэра, состоит из трех сегментов: сегмент отрицательного изменения значения фазы на частотах 0…0.6 КГц, сегмент гармонических колебаний фазы на частотах от 0.6 КГц до 1.78 КГц, и сегмент плавного убывания фазы до 0 на частотах от 1.78 КГц.

По результатам синтеза фильтров заполнена таблица 4, содержащая минимальные порядки фильтров.

Таблица 4. Минимальные порядки фильтров

Тип фильтра	Порядок КИХ-фильтра	Порядок БИХ-фильтра
R min по методу окон с окном Кайзера	R opt по методу чебышевской аппроксимации	Баттерворта	Чебышева I рода	Чебышева II рода	Золотарева-Кауэра
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
РФ

 

4.4 Анализ взаимосвязи между порядком ЦФ и требованиями к АЧХ

Рис.25 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для удвоенной частоты дискретизации

На рисунке 25 представлена АЧХ Lowpass -фильтра, полученного методом Чебышевской аппроксимации, для удвоенной частоты дискретизации. Порядок фильтра – 125. Порядок по сравнению с изначальным вариантов увеличился в 1.5 раза. Увеличение порядка объясняется увеличившейся крутизной перехода амплитуды от ПП до ПЗ.

Рис.26 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для увеличенной границы ПП

На рисунке 26 представлена АЧХ Lowpass -фильтра, полученного методом Чебышевской аппроксимации, для увеличенной границы ПП. Порядок фильтра – 37. Порядок по сравнению с изначальным вариантов уменьшился в ~0.5 раза. Уменьшение порядка обуславливается уменьшением крутизны спада амплитуды от ПП до ПЗ.

 

 

Рис.27 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для уменьшенного значения отклонения ПП

На рисунке 27 представлена АЧХ Lowpass -фильтра, полученного методом Чебышевской аппроксимации, для уменьшенного допустимого отклонения ПП. Порядок фильтра – 66. Порядок изменился не значительно.

Рис.28 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для увеличенной в 2 раза ПП

Рис.29 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для уменьшенной в 2 раза ПП

 

Рис.30 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации

Увеличим диапазон полосы пропускания в два раза от исходной величины (770 Гц) и построим импульсную характеристику Lowpass- фильтра (рисунок 28). Сравним её с ИХ для ПП, равной 770 Гц, представленной на рисунке 30. При увеличении диапазона ПП фильтра, амплитуда импульса выросла примерно в ~2 раза; максимальная амплитуда колебания = 0,61. Судя по колебаниям, сам переходный процесс происходит ровнее и быстрее.

Уменьшим диапазон полосы пропускания в два раза от исходно заданной и построим импульсную характеристику Lowpass- фильтра (рисунок 29). Сравним её с ИХ для ПП, равной 770 Гц, представленной на рисунке 30. Амплитуда импульса понизилась примерно в 0.5 раза и теперь равна 0,18. Переходный процесс происходит медленнее и с большим числом колебаний.

 

Рис.31 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для увеличенной в 2 раза ПЗ

Рис.32 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для увеличенной в 2 раза ПЗ

Рис.33 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации

Уменьшим прямоугольность АЧХ исходного Lowpass- фильтра. Для этого увеличим частоту ПЗ в два раза по сравнению с исходным значением (1065 Гц) и уменьшим порядок фильтра до n=20 для того, чтобы соответствовать остальным требованиям по АЧХ. Построим импульсную (рисунок 32) и амплитудно-частотную характеристику (рисунок 33) фильтра. Сравним полученные характеристики с исходными (рисунки 30 и 33). Прямоугольность АЧХ уменьшена, максимальная амплитуда ИХ осталось прежней, но уменьшилось количество линий дискретизации. Переходный процесс занимает меньше времени по сравнению с исходным.

Рис.34 АЧХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для уменьшенной ПЗ

Рис.35 ИХ Lowpass -фильтра, полученная методом Чебышевской аппроксимации для уменьшенной ПЗ

Уменьшим прямоугольность АЧХ исходного Lowpass- фильтра. Для этого границы ПЗ зададим с 870 и изменим порядок фильтра до n=180 для того, чтоб соответствовать остальным требованиям по АЧХ. Построим импульсную (рисунок 35) и амплитудно-частотную характеристику (рисунок 34) фильтра. Сравним полученные характеристики с исходными (рисунки 30 и 33). Прямоугольность АЧХ увеличена, увеличилось количество линий дискретизации. Переходный процесс занимает больше времени по сравнению с исходным.

4.5 Вычисление реакции КИХ-фильтра ФНЧ на тестовое воздействие. Вычисление амплитудных спектров воздействия и реакции КИХ-фильтра ФНЧ. Фильтрация шумов.

На рисунке 36 представлены графики исходного гармонического сигнала и преобразованного при помощи фильтра низких частот сигнала. Так как частота второго сигнала больше частоты среза (910 Гц), преобразованный сигнал практически полностью соответствует одной из гармоник исходного сигнала с меньшей частотой. На рисунке заметен переходный процесс (0…0.0025 с).

Рис.36 График исходного и отфильтрованного низкочастотным фильтром сигнала для f₁ =770 Гц и f₂ =1065 Гц

Рис.37 Спектр фильтрованного и нефильтрованного сигналов с шумом и без шума

На рисунке 37 представлен спектры сигналов до фильтрации и после фильтрации без шума и с аддитивно добавленным шумом. В независимости от наличия шума фильтр эффективно отделяет частоты, гораздо большие частоты среза (910 Гц), в случае, если частота одной из гармоник исходного сигнала будет соответствовать частоте среза, то амплитуда на этой частоте будет приблизительно в два раза меньше исходной.

Исходный код разработанной функции находится в приложении А.

 

 

Вывод

В ходе работы с помощью утилиты проектирования и анализа фильтров FDATool удалось синтезировать набор фильтров для разных частот, используя наиболее распространённые метода синтеза.

Приложение А

Исходный код m-функции из пунктов задания 8-10

%Параметры

Fs = 5900;

tmax = 1;

Nsamps = Fs;

%Создаем сигнал

t = 0:1/Fs:tmax;

s1 = 5*cos(2*pi*t*770);

s2 = 2*cos(2*pi*t*1065);

s3 = s1 + s2;

A=0.1*max(s3);

Noise = rand(size(t))*2-1;

Noise = Noise*0.1*max(s3);

s4 = s3 + Noise;

f = filter(HdF,s3);

f1 = filter(HdF,s4);

%Рисуем сигналы

%Оригинальный сигнал

figure

subplot(211)

plot(t,s3)

hold on

plot(t,f, 'r')

xlabel('Время (s)')

ylabel('Амплитуда')

title('Сигнал')

xlim([0 0.03])

ylim([-10 10])

%With NOISE

subplot(212)

plot(t,s4)

hold on

plot(t,f1, 'r')

xlabel('Время (s)')

ylabel('Амплитуда')

title('Сигнал с шумом')

xlim([0 0.03])

ylim([-10 10])

%спектры

fr = 0:Fs/Nsamps:Fs/2-Fs/Nsamps;%формируем частоты дискр.

%спектр сигнала

f_fft = abs(fft(s3, Nsamps));

f_fft = 2*f_fft./Nsamps;

f_fft1 = abs(fft(s4, Nsamps));%с шумом

f_fft1 = 2*f_fft1./Nsamps;

figure

subplot(211)

plot(fr, f_fft(1:Nsamps/2))% нормализация

hold on

plot(fr, f_fft1(1:Nsamps/2), 'r')

legend('Спектр сигнала', 'Спектр сигнала с шумом')

xlabel('Частота (Hz)')

ylabel('Амплитуда')

title('Спектр сигнала до фильтрации')

ylim([0 7])

xlim([0 2600])

%спектр сигнала после фильтрации

f_f_fft = abs(fft(f, Nsamps));

f_f_fft = 2*f_f_fft./Nsamps;

f_f_fft1 = abs(fft(f1, Nsamps));

f_f_fft1 = 2*f_f_fft1./Nsamps;

subplot(212)

plot(fr, f_f_fft(1:Nsamps/2))

hold on

plot(fr, f_f_fft1(1:Nsamps/2), 'r')

legend('Спектр сигнала', 'Спектр сигнала с шумом')

xlabel('Частота (Hz)')

ylabel('Амплитуда')

title('Спектр сигнала после фильтрации')

ylim([0 7])

xlim([0 2600])