Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .

Билет № 3

 

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1. Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку a ÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ï a

 

2. Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА₁В₁С₁с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ₁D разделяют данную призму на 2 призмы, основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V₁ и V₂ соответственно равны S_ABD ·h и S_ВСD ·h. По св-ву 2⁰ объемов V=V₁+V₂ т.е V= S_ABD ·h+ S_ВСD ·h= (S_ABD+ S_ВСD) h. Т.о. V=S_АВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как S_пол = ^1//₂ ab то S_∆=ab =>V_∆= Sh ч.т.д.

 

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1. Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α.Отрезок АН называется, ^ проведенным из

т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметимв пл α какую-нибудь т М, отличную от Н, и проведем отр AM. Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α, а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆ АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α, называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_n а в

эту призму впишем цилиндр Р_п. Обозначим через V и V_n объемы цилиндров Р и Р_п, через r_п — радиус цилиндра Р_п. Так как объем призмы F_n равен S_nh, где S_n- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F_n, кот в свою очередь, содержит цилиндр Р_п, то V_n<S_nh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус r_п цилиндра Р_п стремиться к радиусу r цилиндра Р(r_п=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Р_п стремиться к объему цилиндра Р: limV_n=V. Из равенства (V_n<S_nh<V) =>, что

n→∞

limS_nh=V. Но limS_n=πr² Т.о V=πr²h. т.к πr²=S, то получим V=S_оснh.

n→∞ n→∞

 

 

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельную первой, называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой, и при том только одна.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О. Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл., ^ к оси Ох, является кругом с центром в т М₁ пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R₁,а S сечения через S(х), где х – абсцисса т М₁. Из подобия прямоугольных ∆ ОМ₁А₁ и ОМА=> что

ОМ1

=

R1

, или

x

=

R1

откуда

R=

xR

так как

S(x)= pR12

,то

S(x)=

pR2

ОМ

R

h

R

h

h2

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

h

h

h

V=

∫

πR2

x2dx=

πR2

∫

x2dx=

πR2

×

x3

½=

πR2 h

h2

h2

h2

Площадь S основания конуса равна pR², поэтому V=¹/₃Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса, высота кот равна h, а площадь оснований S и S₁вычисляется по формуле V=¹/₃h(S·S₁+√ S·S₁).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную т. М₁ пространства и проведем через нее прямые А₁В₁ и С₁D₁, соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А₁В₁ и С₁D₁ =φ, то будем говорить, что ∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М₁. Действительно, возьмем любую т. М₂ и проведем прямые А₂В₂и С₂D₂ соответственно парал. АВ и СD Т.к А₁В₁∥ А₂D₂, С₁D₁∥ C₂D₂, то стороны углов с вершинами в т.М₁и М₂ попарно сонаправлены (∠А₁М₁С₁ и ∠А₂М₂С₂, ∠А₁М₁D₁ и∠А₂М₂D₂ ) потому эти ∠ равны, ⇒ что ∠ между А₂В₂и С₂D₂ так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ.Угол между прямыми A'B'и CD= φ

 

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о, что все образующие оказались в одной плоскости α. В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А'. Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, поэтому АА'=2πr, AB-h, где г- радиус цилиндра, h- его высота. за S _бок цилиндра принято считать S её развертки. Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S _бок=2πrh

 

 

 

 

Билет № 9

 

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b.Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А₁ то вектор АС заменится равным ему вектором А₁С₁Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с) (сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

 

 

Билет № 10

 

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.(формулировки, примеры)

2. Умножение вектора на число. Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру, образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (Ð АОВ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА₁О₁В₁. Лучи ОА и О₁А₁ лежат в одной грани ^к ОО₁, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А₁О₁В₁ =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Он может быть прямым, острым, тупым (90°, <90°, >90°)

 

 

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b, длинна которого равно | k |·| a |, причем вектор a и b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так: ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует, что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

(k+l)a=ka+la (II-ой распределительный з-н)

отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того, если вектолр а ненулевой, то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0, то существует число k такое, что b= ka.

 

 

Билет № 11

1. призма (формулировки, примеры)

2. Скалярное произведение векторов.

1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А₁А_2.., А_п и В₁В_2....В_п, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А₁В₁ ,А₂В₂,..., А_пВ_п, соединяющие соответственные вершины мн-

ков, параллельны.Каждый из п 4- хугольников A₁A₂B₂B₁, А₂А₃В₃В₂,.... A_nA₁B₁B_n является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А₁A₂...A_n и В₁В₂...В_п, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A₁A₂....An и B₁B₂...B_n наз основаниями, а п-ммы- бокоеыми гранялш призмы.От резки А₁В₁, А₂В₂..., АпВ_п наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A₁A₂....An и B₁B₂...B_n обозначают- A₁A₂....А_n В₁В₂...В_n и называют п-угольной призмой. 4-ехугольная призма- параллелепипед. ^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^ к основаниям, то призма наз пря-мой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь S_полн полной повер-хности выра-жается через площадь S_6os боко-вой поверхности и пло-щадь S_осн ос-нования призмы форму S_полн =S_{6oк +} 2S_осн.

2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так:аb. Т. о. ab=|a|×|b| cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x₁;y₁;z₁} и b{x₂;y₂;z₂}выражается формулой: аb= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. Косинус Ð a между ненулевыми вектора-ми а{x₁;y₁;z₁} и b{x₂;y₂;z₂} вычисляется формулой.

соsa=	x1x2+y1y2+z1z2.	В самом деле, так как а b =|а|×|b|, то	cosa=	ab
√x12+y1²+z12 ⋅√ x22+y2²+z22	|a|×|b|

Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:

1⁰.а2 ³), причем а²>0 при а¹0

2⁰.ab=ba(переместительный з-н)

3⁰.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)

4⁰.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)

Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть, что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых((a+b+c)d=ad+bd+cd.)

 

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)

2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.

1. Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна.

Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А₁ через эти 3 точки проходит пл a. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А₂ пл a.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н.=>, она совпадает с пл a., т.к по аксиоме А₁через 3 точки проходит только одна плоскость.

Билет № 13

 

1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)

2. Теорема о боковой поверхности призмы.

1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,

ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ a боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁ ^к основаниям. Отсюда=>, что АА₁ ^ АВ, т. е. боковая граyь АА₁В₁В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-

да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА₁. Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

 

 

2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники, основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак S_бок=Ph

 

S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph

 

Билет № 14

 

1. Пирамида(формулировка, примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

1. Пирамида. Рассмотриммногоугольник А₁А₂…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА₁А₁, РА₂А₃…,РаnА₁.

Многоугольник, составленный из n –угольника А₁А₂…Аn и n тре-угольников, называется пирамидой. Многоугольник А₁А₂…А_n назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА₁,РА₂, …, РАn – её боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁А₂,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней, а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых граней

 

2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

 

 

Билет № 15

 

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r, расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность

L_1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО₁- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра, проходящее через ось, представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а 2 другие –диаметры оснований цилиндра, такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥ к оси цилиндра, то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу.

 

 

Параллельность прямых а и bобозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

 

 

Билет №16

 

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1. Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L, называется конусом. Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса. Т.Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу. ОР, прохо-дящая через центр основания и вершину, называется Осью конуса. Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось, то сечение пред-ставляет собой треугольник, и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥ к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О₁ , расположенным на оси конуса. R₁ этого круга равен ^РО1/_РО r, где r- радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО₁М₁

 

2. Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема. Если прямая, не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости.

Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b, расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α, а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α. Но это невозможно, так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости.

 

 

 

Билет № 17

 

1. Сфера, шар(формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H(вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

 

 

2. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.

Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости α лежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a₁и b _\, причем a||a₁ и b||b₁. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с.Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.

 

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)

2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости(доказательство одного из них)

2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости.

Д-во. Рассмотрим 2 ║а и а₁ и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а₁^α.. проведем какую-нибудь прямую х в пл α. Так как а^α, то а^ х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а₁^ х. Т.о. прямая а₁ ^ к любой прямой, лежащей в пл a т.е а₁^α.

Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

 

 

 

Билет №20

1. Фрмула обьема шара(формула примеры)

2. Теорема о трех перпендикулярах

1. Теорема: Объем шара радиуса R равен ⁴/₃ pR³

Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r, а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC² –OM^{2 =}ÖR²-x².Так как S(x)=pR²,то S(x)= p(R²- x²). Заметим, что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

V	R R R R	px3	R
=∫p(R2-x2)dx= pR2∫ dx-p∫x2dx=pR2x½-	½=	pR3
-R -R -R -R	-R

 

2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН, АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м ^ к проекции НМ наклонной. Докажем, что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а ^к этой пл, т.к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т.к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой, лежащей в пл АМН, в частности а^АМ