Тема 4. Модель множественной регрессии
Вопросы:
1. Общие сведения о множественной регрессии
2. Реализация основных этапов построения и анализа линейной модели множественной регрессии
3. Комплексный пример решения задачи с использованием корреляционного и множественного регрессионного анализа
4. Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные)
Общие сведения о множественной регрессии
Модель парной регрессии дает хорошие результаты лишь в случае, когда влиянием других факторов на исследуемый показатель можно пренебречь. Но такая ситуация в экономических исследованиях крайне редка. Поэтому часто следует выявлять влияние других факторов, вводя их в модель. Модель с более чем двумя факторами называется множественной регрессией.
Общий вид модели множественной регрессии:
.
Чаще других в экономических исследованиях используются линейные модели множественной регрессии вида
. (1)
Уравнение (1) иногда называют «чистое» уравнение регрессии. Коэффициенты регрессии (1) 
показывают на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную 
изменить на 1 единицу. >1 означает прямую связь между Y и ; <1 означает обратную связь между Y и .
Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства и т.д. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов исследования в эконометрике. Ее основная цель –
построение модели с несколькими факторами. При этом оценивается как совокупное влияние факторов на показатель, так и влияние каждого из них в отдельности.
Основные этапы моделирования экономических взаимосвязей с помощью уравнения (1):
1. Построение системы показателей-факторов.
2. Оценка параметров модели регрессии и определение ее вида.
3. Оценка качества модели.
4. Проверка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров.
5. Оценка влияния отдельных факторов на зависимую переменную.
6. Прогнозирование.
Реализация основных этапов построения и анализа линейной модели множественной регрессии
1. Построение системы показателей-факторов
Основные требования, предъявляемые к факторам:
1) каждый фактор должен быть обоснован теоретически;
2) в модель включаются только те факторы, которые могут быть количественно измерены или отождествлены с цифровыми метками;
3) в модель нельзя включать совокупный фактор и факторы его образующие;
4) факторы должны быть тесно связаны с исследуемой переменной;
5) факторы должны быть линейно независимы друг от друга.
Для реализации последних трех требований необходимо провести корреляционный анализ имеющейся совокупности данных (см. тему 1), включая проверку коллинеарности и мультиколлинеарности факторов. Следует отметить, что корреляционный анализ почти всегда предшествует регрессионному.
При отборе факторов для регрессии можно использовать пошаговый отбор переменных. Его реализуют методами последовательного включения или исключения переменных.
Метод последовательного включения переменных в уравнение.
1. Строят уравнение с одним фактором (например, наиболее тесно связанным с исследуемой переменной Y).
2. Проверяют качество уравнения, например, оценивают 
и 
.
3. Включают в уравнение следующий фактор, получая двухфакторное уравнение.
4. Оценивают его и . Если характеристики уравнения улучшились ( увеличился, а уменьшилась), то новый фактор оставляют в уравнении. Если же характеристики ухудшились или не улучшились, этот фактор является лишним.
5. Пункты 3 и 4 повторяют пока не будут исчерпаны все факторы.
Метод исключения незначимых факторов из уравнения регрессии.
1. Строят уравнение с полным перечнем факторов.
2. Проверяют t-критерий Стьюдента. Из уравнения исключают статистически незначимые (несущественные) факторы, для которых
.
2. Оценка параметров модели регрессии и определение ее вида
Оценка параметров уравнения (1) проводится с помощью МНК. Запишем уравнение в матричной форме
,
где 
, 
, 
.
Для оценки неизвестного вектора параметров а используется матричная формула
. (2)
Замечание.
Расчеты по формуле (2) можно проводить, используя встроенные в Excel функции ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБР. Аналогичные результаты можно получить с помощью инструмента «Регрессия» в пакете «Анализ данных».
3. Оценка качества модели
См. оценку качества модели парной регрессии в теме 2.
Замечание.
При наличии гетероскедастичности или автокоррелированности отсатков модели применяют обобщенный МНК (ОМНК). ОМНК применяется к преобразованным исходным данным. Информацию об ОМНК необходимо изучить по учебнику.
Отличия:
1. При проверке теста на гетероскедастичность упорядочение переменных проводят по возрастанию значений того фактора, по отношению к которому дисперсия остатков более всего нарушена.
2. Включение в уравнение нескольких факторов может завышать значение коэффициента детерминации . Поэтому для множественных регрессий его корректируют и определяют нормированный 
по формуле
,
где n – число наблюдений, k – число факторов, – обычный коэффициент детерминации. Свойства и смысл такие же как и у обычного .
4. Проверка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров
1. Значимость уравнения множественной регрессии проверяется по F-критерию Фишера (см. тему 1).
2. Значимость параметров уравнения проверяется по t-критерию Стьюдента:
,
где 
– стандартные ошибки параметров уравнения
,
где – стандартная ошибка модели, 
– диагональный элемент матрицы 
.
Параметр (а вместе с ним и фактор ) признается статистически значимым (существенным), если
.
В противном случае, параметр и фактор статистически незначимы и фактор нужно исключить из модели или заменить другим.
5. Оценка влияния отдельных факторов на зависимую переменную
Коэффициенты регрессионной модели позволяют оценить влияние каждого фактора на зависимую переменную. Но с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени влияния на исследуемый показатель. Для этой цели используют ряд коэффициентов:
1) коэффициенты эластичности
,
которые показывают, на сколько процентов изменится исследуемый признак при изменении фактора на один процент. При отрицательном значении коэффициента эластичности связь между переменными обратная.
2) 
-коэффициенты
показывают, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится зависимая переменная при изменении фактора на одно среднеквадратическое отклонение. При 
связь между переменными обратная.
3) 
-коэффициенты
,
где 
– коэффициент парной корреляции между зависимой переменной Y и независимым фактором . -коэффициенты показывают среднюю долю влияния фактора в совокупном влиянии всех факторов модели.
6. Прогнозирование
1) точечный прогноз факторов
Прогнозируется каждый фактор, присутствующий в модели. Все возможные способы точечного прогноза факторов рассмотрены в теме 2. В результате получим столбец прогнозных значений факторов
и транспонированную строку
.
2) точечный прогноз исследуемого показателя
.
3) интервальный прогноз исследуемого показателя
определяют ошибку прогнозирования
,
а затем доверительный интервал прогноза:
нижняя граница – 
,
верхняя граница – 
.