Общий метод составления исходных уравнений

РЕФЕРАТ

СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Выполнил: Маден Куат

Проверил: Мурзабеков З.Н.

Алматы, 2016

СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Общий метод составления исходных уравнений

Система автоматического управления состоит из взаимосвязанных и взаимодействующих между собой управляемого объекта и управляющего устройства. Поэтому для получения дифференциального уравнения всей системы необходимо составить уравнения для каждого из них.

При составлении дифференциального уравнения объекта необходимо прежде всего выявить физический закон (или совокупность законов), определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения энергии, закон равновесия электродвижущих сил и другие основные законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением управляемого объекта.

Например, для составления дифференциального уравнения электродвигателя, являющегося управляемым объектом для системы стабилизации скорости вращения, используется закон равновесия моментов па его валу, который может быть записан в следующем виде:

𝖩𝖽𝛺/𝖽t=M_B-M_T

Где 𝖩 и — приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя, Мв — вращающий момент двигателя, Мт — тормозной момент внешних сил (момент нагрузки), являющийся для данного объекта возмущающим воздействием.

После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы,от которых зависят переменные, входящие в это уравнение. Так для приведенноговыше примера необходимо установить, от каких величин зависят и какими выражениями определяются вращающий момент Мв и тормозной момент M_T. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или онизменяется в функции какой-либо переменной.

Дальнейшим шагом является линеаризация полученного уравнения в соответствии с главой 3, если линеаризация вообще допустима. В результате линеаризации полумается линейное дифференциальное уравнение управляемого объекта, которое после введения оператора дифференцирования p = d/dt можно представить в виде

C₀(p)y(t)=B₀(p) u(t) + N₀(p)ƒ(t) (1)

где y(t) — управляемая величина, u(t) — управляющее воздействие, ƒ(t) — возмущающее воздействие. Здесь без потери общности учтено только одно воздействиеƒ(t).

Полипом С₀(р) представляет собой характеристический полипом управляемого объекта. Он характеризует свободное движение объекта, т. е. его движение при u(t)=О и ƒ(t)=0 под влиянием ненулевых начальных значений у(0), у^’(0), y^”(0),..., вызванных, например, исчезнувшим к моменту времени t=0 возмущающим воздействием ƒ(t). В зависимости от знаков вещественных частей корней этого полинома объект может быть устойчивым или неустойчивым.

Полином В₀(р) определяет влияние управляющего воздействия u(t) на характер изменения управляемой величины y(t).

Полином N₀(p) определяет влияние возмущающего воздействия ƒ(t) на характер изменения управляемой величины.

Управляющее устройство,состоит из различных элементов или звеньев. Уравнения некоторых из них известны заранее. Например, для следящей системы датчик угла рассогласования может быть представлен безынерционным звеном, т. е.

усилитель — апериодическим звеном первого порядка, т. е.

и т. д.

Для другой группы элементов дифференциальные уравнения составляются аналогично тому, как это делалось для управляемого объекта.

Совокупность уравнений элементов после введения оператора дифференцирования решается относительно выходной величины управляющего устройства u(t).

В результате получается дифференциальное уравнение управляющего устройства

С_y(р) u(t) = B_y(p) x(t) (2)

где

x(t)=g(t)-y(t) (3)

- ошибка системы.

Для получения дифференциального уравнения всей системы уравнения (1)-(3) решаются относительно ее выходной величины, в качестве которой можно рассматривать как управляемую величину y(t), так и ошибку x(t).

В первом случае получается дифференциальное уравнение

D(p) y(t) = В(р) g(t) + N(p)ƒ(t) (4)

где

Полином D(p) n-го порядка характеризует свободное движение системы автоматического управления. Он называется характеристическим полиномом замкнутой системы и может быть представлен в виде

D(p)^ma₀pⁿa₁p^n*1+…+a_n-1p+a_n (5)

Где a₀,…,a_n в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Как видно из (4), полином D(p) отличается от характеристического полинома объекта С₀(р). Это означает, что и свободное движение системы может существенно отличаться от свободного движения объекта. В частности, если управляемый объект неустойчив, то при правильно выбранных алгоритме управления и параметрах управляющего устройства система в целом будет устойчивой. Наоборот, при неправильном выборе система автоматического управления устойчивым объектом может стать неустойчивой.

Полином В(р) и уравнении (4) определяет влияние задающего воздействия g(t) на характер изменения управляемой величины y(t), причем последняя должна как можно более точно воспроизводить задающее воздействие, т. е. ошибка системы (3)должна быть минимальной.

Полином N(p) определяет влияние возмущающего воздействия ƒ(t) на характер изменения управляемой величины y(t). В уравнении (4) учтено только одно возмущеиие ƒ(t). В принципе таких возмущений может быть несколько. Однако вследствие линейности уравнения действует принцип суперпозиции, согласно которому реакция на сумму воздействий равна сумме реакции. Поэтому достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения, а при наличии нескольких возмущений необходимо лишь просуммировать результат.

Во втором случае, когда в качестве выходной величины рассматривается ошиб-ка x(t), дифференциальное уравнение системы может быть получено подстановкойв (4) выражения для ошибки (3):

D(p) x(t) =С(р) g(t) – N(p)ƒ(t) (6)

Из (6) вытекает, что ошибка системы автоматического управления может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием задающего воздействия g(t), а вторая — наличием возмущающего воздействия (в общем случае — возмущающих воздействий). Первая составляющая неравна нулю только в программных и следящих системах. В стабилизирующих систе- мах g(t) = const. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы g(t) = 0.

Согласно (4) N(p) = С_y(р) N₀(p). Это означает, что выбором структуры и параметров управляющего устройства можно уменьшить вторую составляющую ошибки и тем самым ослабить влияние возмущающего воздействия па объект. Если для какого-либо возмущающего воздействия полипом N(p) = 0, то говорят, что система автоматического управления является инвариантной относительно этого воздействия. Равным образом в программных и следящих системах равенство С(р) = 0 означает, что система инвариантна относительно задающего воздействия.