несовместна ,т.е. решений нет.

 

12. Решение систем методом обратной матрицы.

13. Понятие вектора на плоскости и в пространстве, линейные операции над векторами в геометрической форме.

14. Прямоугольная декартовая система координат, координаты вектора. Длинна вектора, линейные операции над векторами в прямоугольной и декартовой системе координат.

15. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

16. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

17. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

Ответ: Смешанным произведением 3-х векторов наз. число равное векторному произведению умноженному скалярного на вектор

Смешанное произведение 3-ёх некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда построенного на веккторах взятому со знаком +когда реперы и имеют одинаковую ориентацию и со знаком – в противном случаи.

18. Понятие функции, ее свойства, график, способы задания.

Свойства

1)Четность и нечетность

 

2) Периодичность

 

3)Моннотонная

 

 

4)Ограниченность

 

Графиком функции - множество точки плоскости с координатами (x;f(x))

Если у? У ставится в соответствии единств х? Х такой что f(x)=y то получаем функцию х’= заданую на множестве У со значениями в Х обратную x y=f(x)

 

19. Элементарные функции. Графики основных элементарных функций.

Элементарной наз. функция полученная из

20. Обратная функция. Сложная функция Неявно заданная функция, параметрический заданная функция.

21. Различные виду уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Уравнение линии на плоскости наз. уравнение относительно переменных х и у которому удовлетворяет координаты любой точки данной линии. Уравнением линии на плоскости в декартовых прямоугольных координатах F(x,y)=0

Точки пересечением двух линий F1 (x,y), F2 (x,y)=0 находим из системы уравнений если системы не имеет решений то точек пересечений нет.

Виды уравнение прямой на плоскасти

1)y=kx +b-уравнение прямой с угловым коэфициэнтом где k- угловой коэфициэнт b-отрезок отсекаемыый ею на оси OY k=tg

2)Ax+By+C=0 общее уравнение прямой A и B одновременно нулю не обращаются

3) –уравнеение прямой в отрезках где a и b длины отрезков отсекаемых на осях координат взятые с соответствующим законом

4) уравнение прямой с угловым коэфициэнтом K и проходяшим через данную точку ()

5) -уравнение прямой проходящее через две данные точки

Растояние от точки прямой наз.длина пенпердикуляра опущеного из этой точки на данную прямую

22. Кривые 2-го порядка: канонические уравнения, основные характеристики, изображение кривых.

Кривыми второго порядка наз. линии уравнения которых могут быть записаны следующим образом

 

Где A,B,C,D,E,F –действительные числа которые наз. коэффициентами уравнениями при чем по крайне мере один из коэффициентов A,B,C отличен от 0.

Каноническое уравнение окружности

Если уравнение второй степени второй степени

Определяет не которую линию то это линия окружности а данное уравнение приводится к каноническому путем дополнение полных квадратов

Эллипс

Эллипсом –наз. Множество всех точек плоскости сумма расстояний от каждой до двух данных точек f1 и f2 (фокусы эллипса) есть величина постоянная

Уравнение Эллипса

 

 

Гипербола

Каноническое уравнение

 

 

Парабола

Параболой наз. множество точек плоскости равно удалённых от данной точки (наз. фокусом) и данной прямой (наз. директрисой)

Уравнение

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса.Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат

23. Уравнение плоскости в пространстве. Взаимно расположенные плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

F(x,y,z)=0 – уравнение поверхности в пространстве

Уравнение плоскости проходящей через данную точку m0(x0,y0,z0) Перпендикулярно данному вектору (a,b,c)

Угол между двумя плоскостями

равен углу фи между нормальными векторами к этим плоскостям (а1.в1.с1) 2 (а2.в2.с2)

Параллельность, перпендикулярность совпадение

Ростояние от точки М0(х0,у0,z0) до плоскости

Вычесляется по формуле

Искомое уравнение

24. Уравнение прямой в пространстве.

Направляющим вектором прямой наз. любой нулевой вектор параллельны ей.

-векторная уравнение прямой

- параметрическая уравнении прямой T- параметр (число)

-каноническое уравнение прямой

25. Поверхности 2-го порядка: канонические уравнения, изображение поверхностей.

26. Числовая последовательность. Виды последовательностей. Способы задания.

Числовая последовательность- это функция обозначается где принимает значение (1,2,3 и т.д) определенное на множество натуральных чисел

Каждое значение наз. элементом последовательностей число n- его номером

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов среди которых могут быть равные:

Постоянная последовательность все члены которого равны между собой

Возрастающая (убывающая) последовательность: если является возрастающай (убывающая) функция для

Строго монотонные - возрастающие и убывающие;монотонные – не возрастающие не убывающие

Неубывающее – если каждый элемент начиная со n≥2 не меньше предыдушего

Невозрастающая - ---\\---

Последовательность ( ) наз. ограниченной сверху (снизу если существует число А что ≤ Адля любого натурального N

,

 

Способы задания:

1)Аналитический,

2)табличный

3)Рекурентный-указывается первый элемент и формула для n≥1 позволяет вычислить через

27. Пределы числовой последовательности: определение, геометрический смысл, свойство. Число е.

Число a наз. пределом числовой последовательности () если для любого >0 существует номер N что при >N выполняется неравенство

?

Последовательность имеюзщая предел наз. сходящейся у которой нет предела расходящейся

Последовательность() и () имеют пределы их суммы разности произведение частного существуют и находятся по формулам

Число е

При увелечении номера n меняется все медленее можно доказать с Бинома Ньютона что это последовательность имеет придел заключенное между числпми 2 и 3 этот придел и наз. числом е

28. Предел функции в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции.

Теорема 1 (Первая теорема Коши)

Пусть функция ƒ (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, тогда существует точка в которой ƒ (с)=0.

Теорема 2 Пусть функция ƒ (x) непрерывна на отрезке [a,b], причемƒ (a)=A, ƒ (b)=B, где A≠B. Тогда какое бы ни было число С, заключенное между А и B, найдется такая точка , что ƒ (с)=С.

 

29. Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательный предел.

Свойства бесконечно малых при х функций аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Постоянная функция у=с является бесконечно малой при х тогда и только тогда, когда с=0.

Теорема 2. Если (х) — бесконечно малая функция при х и для всех х из некоторого луча [Q,+ ), выполняется неравенство | (x)| | (x)|, то и (х) есть бесконечно малая функция при х .

Теорема 3. Если (х) — бесконечно малая функция при x , то она является ограниченной на некотором луче [М, + ).

Эти теоремы мы приводим без доказательств, так как они легко следуют из определения 1.

Теорема 4. Сумма двух бесконечно малых при х функций также является бесконечно малой при х функцией.

Теорема 5. Если (х) — бесконечно малая при х функция, а у=f(х) — ограниченная функция на некотором луче [а, + ), то их произведение является бесконечно малой при х функцией.

Следствие 1. Если (х) — бесконечно малая при х функция, то и с (х), где с — любое действительное число, также является бесконечно малой при х функцией.

Следствие 2. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) бесконечно малых при х функций есть бесконечно малая при х функция.

Следствие 3. Если ₁(х), ₂(х),..., _n(х)—бесконечно малые при х функции, то и c_{1 1}(х) + c_{2 2}(х) + ••• + c_{n n}(x) (где С₁,..., С_n — действительные числа) также является бесконечно малой при х функцией.

или

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

 

30. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывности функции. Точка разрава функции.

31. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы о непрерывностях функций.

32. Приращение аргумента, приращение функции. Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной.

33. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции.

34. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

Ответ: Корнем или нулем функции наз. такое значение аргумента. При котором это функция обращается в нуль

Т. Роля. Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержаться по меньшей мере один корень ее производной

Т. Логранта. Если функция f(x) непрерывна [a,b] то существует такая точка С?(а,b) что f(b)-f(a)=f’(C)(b-a)-формула конечных приращений.

Т.Коши. Если y=f(x) и q=µ(x)- две функции непрерывны на [a, b] и дифференцируемые на интервале (а и в).При исследовании функции может проявится необходимость нахождения предела дроби f(x) и µ(х) числитель и знаменатель которой стремятся к нулю или бесконечность при х→а. Нахождение таких пределов наз. раскрытием неопределённостей соответствующего вида Основа его правила Лопиталя.

Т. Лопиталя. Если функций f(х) дефференц. В окрестности точки a x=a, обращаются в нуль этой точке и существует предел то существует и предемл отношений самых функций равны пределу отношение производной.

35. Дифференциация 1-го порядка, его свойства, использование в приближенных вычислениях.

Ответ: Дифференциалом функции y=f(x) наз. произведение производной этой функции ,dx = то есть дифференциал независемой переменной равен приращению dy= -формула для вычисления дифференциала. То есть производная функции равна отношению данной функции дифференциалу его аргумента

Свойства

1)dc=0 с-const

2)Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов слагаемых d(u-v-w)=du-dv+dw

3)Дифференциал произведение двух дифференцируемых функций: d(uv)=udv+vdu

4)Дифференциал частного

5)Дифференциал сложной функции равен произведению производной первой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента

 

36. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

Ответ: Производная от производной F(X) наз. производной второго порядка f”(x)=(f’(x))’

В случае дифференцируемости производной , n? N производная порядка определяется равенством.f^(n)(x)=(f^n-1(x))

y=f(x)

f”(x)=(f’(x))’=d^2y/dx^2

f”’(x)=…=d^3y/dx^3

Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) наз. дифференциалом 2 порядка

Дифференциалом n порядка наз. дифференциал от дифференциал (n-1)-го порядка.

 

37. Монотонность и экстремумы функций. Признак монотонности функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Ответ: Монотонность функции если в данном промежутке производная функции положительная то функция возрастает на этом промежутке если отрицательная то –убывает.

Необходимое условие экстремума. Если экстремума дифференцируемой функции производная равна нулю. Так же функция может достигать экстремума в точке которой производной не существует.

1-ое достаточное условие. Если в точке х=х0 производная функции y=f(х) равна 0 и меняет знак при переходе через точку, то х0-точка экстремума, причем если х0 точка максимума, знак меняется с + на -, а если х0 точка минимума то знак меняется с минуса на плюс

2-ое достаточное условие. Если в точке х=х0 первая производная функции y=f(x) равна нулю, а вторая отлична от нуля то х0 – точка экстремума причем х0 точка минимума,если f”(x0)>0,х0 точка максимума, если f” (x0)<0

38. Выпуклость и перегиб. Асимптоты графика функции.

Ответ: График функции y=f(x) наз. Выпуклым вниз (вверх) в данном промежутке если он целиком расположен выше (ниже) касательной в его производной точке.

Признак выпуклости. Если вторая производная функции y=f(x) в данном промежутке положительна (f”(x)>0),то график ее является выпуклым вниз в этом промежутке, а если f”(x) <0, то выпуклый вверх в соответствующем промежутке

Точкой перегиба графика y=f(x) наз. такая его точка M0,в которой меняется направление выпуклости (М0 точка непрерывности функции)

Признак точки перегиба. Если в точке х=х0 2-ая производная функции y=f(x) обращается в нуль (или не существует) и меняет знак при переходе через нее, то М0 (х0,f(x0)) точка перегиба.

Асимптоты - прямые к которым неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

39. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхность уровня. Предел и непрерывность ФНП.

ФНП –переменная величина z наз. функцией 2 переменных величин x и у, если в каждой паре допустимых значений (x,у) соответствует единственное значения z

Переменная величина U наз. функцией 3 переменных x,y,z, если каждой 3 паре допустимых значений.

Совокупность всех точек в которых определена ФНП наз. область определения функции.

Линии уровня функции z=f(x,y) наз. геометрическое место точек для которых данная функция имеет одно и тоже значение. F(x,y)=с уравнение линии уровня

Поверхность уровня функции 3 переменных u=f(x,y,z) наз. геометрическое место точек пространства x,y,z для которых данная функция имеет одно и тоже значение

40. Частные произведения 1-го порядка ФНП. Полный дифференциал ФНП. Частные произведение высших порядков ФНП.

Частной производной ФНП по одной из этих переменных наз. предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной когда последние стремится к нулю.

При нахождении частной производной пользуется правилами дифференцирования функции одной переменной считая все другие аргументы постоянной.

Полный дифференциал ФНП- z=f(x,y) наз. главная часть полного приращения AZ,линейная относительно приращений аргументов дельта X,Y.

Частными производными высшего порядка функции z=f(x,y) наз. частные производственные от её частных производных =

Аналогично определяются частные производные третьего четвертого и высших порядков

В частности = . Пробным образом определяются производные высшего порядка функции трех и более переменных

Частная производная второго порядка и выше взятая по различным переменным наз. смешанной частной производной.Если частные производные высшего порядка непрерывна то смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования.