Исследование простейших фильтров
Простейшие электрические фильтры
Электрические фильтры - это устройства, которые пропускают на выход сигналы одних частот и не пропускают сигналы других частот. По виду АЧХ фильтры разделяются на фильтры нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовые фильтры (ПЧ) и др.
Фильтры нижних частот (НЧ)
Фильтр нижних частот без изменения передает сигнал нижних частот, включая и нулевую частоту (постоянный сигнал), а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов. На рис.3,а изображена схема простого фильтра НЧ. Сопротивление емкости С зависит от частоты входного сигнала и равно ХС = 1 / ωC. Емкость С вместе с резистором R образуют делитель напряжения. Для частоты ω = 0 сопротивление емкости равно бесконечности. И весь сигнал со входа схемы поступает на выход. С увеличением частоты сопротивление емкости уменьшается и все большая его часть будет замыкаться на землю. И в пределе, когда ω = ∞, сопротивление емкости будет равно 0, напряжение на выходе также будет равно 0. Таким образом, схема обладает свойствами фильтра НЧ.
Для расчета частотной характеристики схемы воспользуемся методом комплексных амплитуд. По схеме рис.3,б, используя формулу для делителя напряжения, найдем выходной сигнал
.
Отсюда найдем комплексный коэффициент передачи
,
где Т = RC - постоянная времени RC - цепочки.
АЧХ представляет собой модуль комплексного коэффициента передачи
,
а ФЧХ аргумент комплексного коэффициента передачи
.
На рис.4 показаны частотные характеристики ФНЧ для R = 1 кОм, и С = 1 мкФ.
На АЧХ фильтра можно выделить три области частот: полосу пропускания, переходную область, и полосу подавления сигнала. В полосе пропускания допускается снижение коэффициента передачи в 
раза. На АЧХ такое уменьшение коэффициента передачи происходит на частое 158,489 ≈ 159 Гц. Частота, на которой коэффициент передачи уменьшается в раз, называется частотой среза. Частота среза разделяет область пропускания фильтра от переходной области. Полоса пропускания фильтра НЧ лежит от 0 Гц до частоты среза fc. Частота среза RC -фильтра НЧ равна fc.= 1/ 2πRC или круговая частота среза ωс = 1/RC = 1 / T. В этом легко убедиться, если в формулу АЧХ фильтра вместо ω подставить ωс = 1/RC, то получим 
, что означает, что на частоте ωс = 1/RC коэффициент передачи уменьшился в раз.
Частота, которая разделяет переходную область фильтра от полосы подавления сигнала, не нормируется. Она определяется в зависимости от требований, предъявляемых к АЧХ фильтра в конкретном применении. Для сравнения различных фильтров эта частота иногда определяется на уровне 0,01 от коэффициента передачи на нулевой частоте.
Обычно АЧХ необходимо анализировать в широком диапазоне частот, например для операционного усилителя широкого применения, от единиц Гц до десятков МГц. В этом случае удобно ось частот представлять в логарифмическом масштабе lag f или lag, как показано на графике на рис. 4. Коэффициент передачи при этом измеряется в обычном линейном масштабе. Однако, если коэффициент передачи (усиления) изменяется в очень широких пределах, как, например, в операционном усилителе, то его удобно выражать в логарифмическом масштабе:
L(ω) = 20lg A.
Единицы измерения - децибелы (дБ), десятая часть бела. Зависимость коэффициента усиления от частоты входного сигнала в логарифмическом масштабе называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).
Что собой представляет единица измерения бел, и почему коэффициент перед логарифмом равен 20, а не 10 как следовало бы ожидать. Единица измерения 1 бел соответствует отношению мощностей в 10 раз:
Б = P2 / P1 = 10.
Так как 1 Белл - это очень большая величина, то на практике используют более мелкие величины децибелы (в одном беле содержится 10 дБ). Поэтому в коэффициенте усиления по мощности коэффициент пропорциональности равен 10:
Lap = 10 lag P2 / P1.
Но у нас коэффициент усиления, это отношение амплитуд токов или напряжений. А для токов и напряжений мощность пропорциональна квадрату токов или напряжений
P = UI = U2/R = I2R.
При отношении амплитуд в 10 раз мощность увеличивается в 100 раз, т.е. на 2 бела или на 20 децибел:
U2/U1 = 10, P2/P1 = (U2/U1)2 = (10)2 = 100.
Поэтому в формуле для логарифмического коэффициента усиления появился множитель 20, а не 10.
Логарифмические единицы удобны еще тем, что если известны коэффициенты усиления отдельных каскадов или узлов усилителя и общий коэффициент усиления равен произведению этих коэффициентов, то в логарифмическом масштабе коэффициент усиления находят как алгебраическую сумму логарифмических коэффициентов усиления отдельных каскадов. На рис.5 представлена ЛАЧХ RC фильтра НЧ, которая была рассмотрена ранее.
Частота среза фильтра определяется на уровне -3 дБ от максимального значения коэффициента усиления в полосе пропускания. Это видно из показаний слайдера правого курсора. Величина - 3 дБ в логарифмическом масштабе соответствует коэффициенту усиления 
в линейном масштабе, то есть L = 20lg 0,707 = -3 дБ. Из ЛАЧХ хорошо видно как подавляется сигнал на высоких частотах. Так на частоте 10 кГц логарифмический коэффициент усиления почти равен - 40 дБ, что соответствует значению 0,01 в линейном масштабе. Попробуйте определить коэффициент усиления на этой частоте по АЧХ на рис.4.
Фазочастотные характеристики в обоих случаях строятся в линейном масштабе. Из фазочастотных характеристик видно, что наибольшее изменение фазы происходит на частоте среза фильтра.