Временной метод анализа переходных колебаний

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

Им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Н.К. Логвинова

А.Г. Здравомыслова

М.С. Глебова

ОСНОВЫ

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Часть 2

Санкт-Петербург

УДК 621.372

ББУ 3841-01я73

Л 69

Л 69 Основы теории цепей: учебное пособие. Ч. 2 / Н.К. Логвинова, А.Г. Здравомыслова, М.С. Глебова; ГОУ ВПО СПбГУТ. – СПб, 2007.

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия.

Излагаются классический, операторный, временной и частотный методы анализа переходных колебаний в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) с сосредоточенными элементами; вводятся понятия операторных передаточных функций, частотных и временных характеристик ЛЭЦ, режимы работы цепей с распределенными параметрами и методы анализа колебаний в нелинейных резистивных ЭЦ при гармонических воздействиях.

Учебное пособие содержит задания к контрольным работам 3 и 4 по второй части дисциплины ОТЦ, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу.

Предназначено студентам заочного и вечернего факультета специальностей 210404, 210405, 210406.

УДК 621.372

ББК 3841-01я73

© Н.К. Логвинова, А.Г. Здравомыслова,

М.С. Глебова, 2007

© ГОУВПО «Санкт-Петербургский государственный

университет телекоммуникаций

им. проф. М.А. Бонч-Бруевича», 2007

Введение

Настоящее учебное пособие предназначено студентам III курса вечернего и заочного факультетов по дисциплине «Основы теории цепей» (ОТЦ). Учебное пособие подготовлено в соответствии с действующей программой и содержит методические рекомендации к выполнению задач 1–8, которые включают теоретический материал по изучаемым вопросам, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу.

Студенты вечернего факультета выполняют задачи в виде аудиторных или домашних заданий по указанию преподавателя.

Студенты заочного факультета выполняют в пятом семестре контрольные работы 3 и 4.

Приступая к выполнению контрольной работы, студент должен изучить соответствующие разделы дисциплины, ориентируясь на перечень основных вопросов и указанную литературу, усвоить материал каждого раздела, ответить на контрольные вопросы, разобраться в решении типовых задач.

Контрольная работа 3 содержит четыре обязательные задачи (1, 3–5), задача 2 является дополнительной и выполняется по желанию студента, контрольная работа 4 содержит 3 обязательные задачи (6, 7, 8).

Контрольные задачи составлены в пяти вариантах.

Все исходные данные к задачам выражаются через величины M и N.

Вариант, а также величины M и N определяются по номеру зачетной книжки следующим образом: вариант – по последней, N – по предпоследней, M – по третьей от конца цифрам (см. таблицу).

Таблица выбора варианта

Цифры номера зачетной книжки	Вариант	Значения M или N
1, 2	А
3, 4	Б
5, 6	В
7, 8	Г
9, 0	Д
Примечание. Если номер зачетной книжки 851810, то студент выполняет вариант Д (N = 1, M = 4).

При оформлении контрольных работ должны соблюдаться следующие правила:

1. Контрольная работа, предъявленная на рецензию, должна быть аккуратно оформлена в отдельной тетради. С одного края листа необходимо оставить свободное поле для замечаний рецензента. При оформлении на персональном компьютере (ПК) контрольная работа состоит из распечаток ПК формата А4 (297´210 мм), которые должны быть сброшюрованы.

2. На первой странице работы необходимо написать основные данные: номер работы, номер варианта, величины M и N, курс, факультет, фамилию, имя и отчество, номер зачетной книжки.

3. Для каждой задачи должна быть вычерчена схема, приведено условие и численные значения параметров. Все величины: сопротивления, напряжения, токи и т. д, буквенные обозначения которых применяются в ходе решения, должны быть показаны на схеме.

4. Для каждой задачи должен быть указан порядок ее решения, записаны расчетные формулы, показано, какие числа в них подставляются, приведены промежуточные вычисления и конечный результат. При решении задач следует пользоваться международной системой единиц СИ и в ответе обязательно указать единицы измерения. При расчетах достаточно ограничиться точностью в три значащие цифры.

5. Графики рекомендуется рассчитывать на ПК, используя любую из программ: Mathcad, FASTMEAN, Electronics Workbench, Micro Cap, PSpice. Распечатки ПК аккуратно вклеить в тетрадь. При использовании калькулятора необходимо привести таблицы рассчитанных значений функций, пример расчета, графики построить на миллиметровой бумаге с указанием размерностей и масштабов по осям координат.

6. По всем возникшим в ходе выполнения контрольной работы вопросам студент может обратиться на кафедру ТЭЦ за консультацией.

7. Если работа не зачтена, то исправления решения задач или их новое решение выполняются на последующих чистых листах и высылаются вместе с проверенной ранее работой на повторное рецензирование. Не допускается внесение исправлений в проверенную работу.

8. При собеседовании студент должен быть готов дать пояснения по существу решения каждой задачи, входящей в контрольную работу.

9. При сдаче экзамена студент предъявляет зачтенную контрольную работу.

При подготовке к экзамену студент должен изучить кроме разделов дисциплины, входящих в контрольные работы, разделы: «Свободные колебания в колебательных контурах» [ 1, с. 198–206; 2, с. 167–172], «Переходные колебания в колебательных контурах при ступенчатых воздействиях» [ 1, с. 206–210; 2, с. 172–173], «Цепи с обратной связью» [ 4, с. 26–41], «Автоколебательные системы» [ 4, c. 41–52; 5, c. 114–124, 143–176, 184–195; 6, c. 179–279].

1. задание к контрольной работе 3
(по разделам дисциплины)

«Анализ переходных колебаний в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) с сосредоточенными элементами», «Анализ режима негармонических периодических колебаний в ЛЭЦ»

Задача 1
анализ переходных колебаний в ЭЦ
классическим методом

Найдите закон изменения напряжения и тока на реактивном элементе u_C (t), i_C (t) или u_L (t), i_L (t) после коммутации при условии, что до коммутации в цепи был установившийся режим.

Для этого:

1. Выберите для своего варианта схему цепи и рассчитайте ее параметры через M и N из табл.1.1, если последняя цифра номера зачетной книжки нечетная, или из табл. 1.2, если – четная (цифру 0 считать четной).

2. Составьте для схемы, получившейся после коммутации, систему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и получите одно дифференциальное уравнение относительно u_С (t) или i_L (t).

3. Найдите путем решения полученного дифференциального уравнения искомую реакцию цепи u_C (t) или i_L (t), по которой определите i_C (t) или u_L (t) соответственно.

4. Постройте графики функций u_C (t), i_C (t) или i_L (t), u_L (t).

Таблица 1.1

Вариант	Схема цепи	Данные
А		U 0 = 10N, В R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 8MN, Ом C = 1/M, мкФ
Б		U 0 = 6N, В R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 8MN, Ом L = M/10, мГ
В		U 0 = 6N, В R 1 = R 2 = R 3 = MN, Ом C = 0,6/M, мкФ
Г		I 0 = 6/N, мА R 1 = R 2 = R 3 = MN, Ом L = M/10, мГ
Д		I 0 = 6/N, мА R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 4MN, Ом C = 0,6/M, мкФ

 

 

Таблица 1.2

Вариант	Схема цепи	Данные
А		U 0 = 10N, В R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 8MN, Ом C = 1/M, мкФ
Б		U 0 = 6N, В R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 8MN, Ом L = M/10, мГ
В		U 0 = 6N, В R 1 = R 2 = R 3 = MN, Ом C = 0,6/M, мкФ
Г		I 0 = 6/N, мА R 1 = R 2 = R 3 = MN, Ом L = M/10, мГ
Д		I 0 = 6/N, мА R 1 = R 2 =MN, Ом R 3 = 4MN, Ом C = 0,6/M, мкФ

 

 

Задача 2 (дополнительная)
анализ переходных колебаний в ЭЦ
операторным методом

Найдите закон изменения напряжения и тока на реактивном элементе u_C (t), i_C (t) или i_L (t), u_L (t) после коммутации.

Для этого:

1. Выберите для своего варианта схему цепи из табл.1.3 и рассчитайте значения ее параметров через M и N.

2. Найдите начальные условия задачи u_С (0) или i_L (0) и составьте операторную схему замещения цепи для t > 0.

3. Найдите L -изображения U_C (p), I_C (p) или I_L (p) U_L (p).

4. Найдите по полученным L -изображениям соответствующие оригиналы и постройте графики функций u_C (t), i_C (t) или i_L (t), u_L (t).

Таблица 1.3

Вариант	Схема цепи	Вариант	Схема цепи
А		Г
Б		Д
В		Параметры цепей всех вариантов: R 1 = R 2 = R 3 = 2N, Ом L = 4N2, мГ С = M/4N, мкФ U 0 = 0,12MN, В I 0 = 0,3M, А

Задача 3
определение частотных и временНЫх
характеристик цепи

Найдите операторную передаточную функцию H (p) активной и пассивной цепей и определите по ним частотные характеристики: амплитудно-частотную ½ H (j w)½ и фазочастотную Q(w);и временные характеристики: переходную h (t) и импульсную g (t).

Для этого:

1. Выберите для своего варианта схему пассивной RL или RC цепи из табл.1.4 и рассчитайте значения ее параметров через M и N.

2. Найдите операторную передаточную функцию

или ,

где U ₁(p) – L -изображение подведенного к входу цепи воздействия; U ₂(p) или I ₂(p) – L -изображение искомой реакции цепи.

3. Получите по операторной передаточной функции H (p) комплексную передаточную функцию H (j w) = H (p)½ _{p = j w} и запишите выражения для амплитудно-частотной ½ H (j w)½ и фазочастотной Q(w) = = arg H (j w) характеристик. Постройте графики АЧХ и ФЧХ при изменении частоты от 0 до ¥. При построении графиков на ПК выберите наименьшее f _min = 1 Гц и наибольшее f _max значения частот такими, чтобы на графиках отображались особенности АЧХ и ФЧХ исследуемой цепи.

4. Получите выражения для временных характеристик цепи: импульсной g (t) и переходной h (t) по операторной передаточной функции. Постройте график h (t) при изменении времени от 0 до ¥. При построении графиков на ПК выберите наименьшее и наибольшее значения времени соответственно: t _min = 1 нс, t _max = 50…200 мкс. Время t _max следует выбирать таким, чтобы на графиках было видно установившееся значение h (t).

5. Выберите для своего варианта схему ARC -цепи из табл.1.5 и рассчитайте значения ее параметров через M и N. Нарисуйте схему замещения цепи, заменив условное изображение операционного усилителя (ОУ) его схемой замещения в виде ИНУН из табл. 1.6. Коэффициент усиления может быть либо сколь угодно большим (m ® ¥), либо конечным положительным или отрицательным числом K. Для полученной ARC -цепи выполните задания, указанные в пп. 2, 3, 4 задачи 3.

Таблица 1.4

Вариант	Схема цепи	Данные
А		R 1 = R 2 = (M + N), кОм L = N(M + N)2/2, мГ U 0 = 0,1M, В
Б		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = N/2, нФ U 0 = 0,1M, В
В		R 1 = R 2 = (M + N), кОм L = N(M + N)2/2, мГ U 0 = 0,1M, В
Г		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = 2N, нФ U 0 = 0,1M, В
Д		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = 2N, нФ U 0 = 0,1M, В

 

Таблица 1.5

Вариант	Схема цепи	Данные
А		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = 2N, нФ U 0 = 0,1M, В
Б		R 1 = R 2 = R 3 = (M + N), кОм С = N, нФ K = 2 U 0 = 0,1M, В
В		R 1 = R 2 = R 3 = (M + N), кОм С = 4N, нФ K = –1 U 0 = 0,1M, В
Г		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = N, нФ U 0 = 0,1M, В
Д		R 1 = R 2 = (M + N), кОм С = 2N, нФ U 0 = 0,1M, В

Задача 4
анализ переходных колебаний в ЭЦ
временным и частотным методами

Рис. 1.1

Найдите реакцию цепи в виде напряжения u ₂(t) или тока i ₂(t) при воздействии видеоимпульса прямоугольной формы высотой U ₀ и длительностью t _и = (1,5 + N /5)t (рис. 1.1).

Для этого:

1. Выберите схему анализируемой цепи для своего варианта:

схему пассивной цепи из табл. 1.4, если последняя цифра номера зачетной книжки нечетная;

схему ARC-цепи из табл. 1.5, если последняя цифра номера зачетной книжки четная (цифру 0 считать четной).

2. Найдите выражение реакции цепи временным методом с помощью интеграла Дюамеля, используя переходную характеристику h (t), полученную в п. 4 задачи 3.

3. Найдите выражение реакции цепи частотным методом.

Для этого:

• определите комплексную спектральную плотность реакции F ₂(j w) = F ₁(j w) H (j w), используя выражение комплексной передаточной функции H (j w), полученное в п.3 задачи 3, и выражение комплексной спектральной плотности F ₁(j w) видеоимпульса прямоугольной формы;

• получите L -изображение спектральной плотности реакции цепи F ₂(p), заменив j w на p, F ₂(p) = F ₁(p) H (p);

• найдите u ₂(t) или i ₂(t) известными методами нахождения оригинала по его L -изображению.

4. Сравните полученные в п. 2 и 3 результаты и постройте графики входного напряжения и реакции цепи u ₂(t) или i ₂(t) в интервалах времени 0 £ t £ t _и и t _и £ t £ 2 t _и. При расчете на калькуляторе в каждом интервале рассчитайте значения u ₂(t) или i ₂(t) в 5–6 равноотстоящих точках. Целесообразно для расчетов и построения графиков использовать ПК.

5. Рассчитайте спектральную плотность амплитуд напряжения или тока на выходе цепи ÷ F ₂(j w)ï, если на вход ее поступает указанный видеоимпульс. Постройте графики АЧХ цепи, спектральной плотности амплитуд заданного видеоимпульса ï F ₁(j w)ï и реакции ï F ₂(j w)ï = ï F ₁(j w)ïï H (j w)ï в интервале частот 0 £ w £ 2w₀ с шагом 0,2w₀, где w₀ = 2p/ t _и. Целесообразно для расчетов и построения графиков использовать ПК.

Таблица 1.6

Наименование элемента	Схемное изображение по ГОСТ	Схемное изображение в стандартных программах для ПК	Схемы замещения
Дифференциальный операционный усилитель
Инверсный операционный усилитель
Усилитель с конечным усилением
Усилитель-повторитель напряжения

Задача 5
анализ негармонических периодических колебаний
в Электрических Цепях

Найдите реакцию цепи в виде напряжения u ₂(t) или тока i ₂(t) для своего варианта (табл. 1.4) при воздействии на цепь периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Воздействие u ₁(t) представлено с допустимой погрешностью в виде усеченного ряда Фурье:

,

где w₁ = 2p/ T.

Постоянная составляющая A ₀/2 (k = 0), амплитуды A_k и начальные фазы j _k гармонических составляющих для N = 6 рассчитаны для U ₀ = 1 В и разной скважности Q = T / t _и и приведены в табл. 1.7.

1. Нарисуйте воздействие u ₁(t) в виде периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с заданной скважностью и запишите u ₁(t) в виде суммы постоянной составляющей и N гармонических составляющих для своего варианта из табл. 1.7.

2. Рассчитайте значения АЧХ и ФЧХ, выражения для которых найдены в п. 3 задачи 3, на частотах гармонических составляющих ½ H (jk w₁)½ и Q(k w₁), где , N = 6.

3. Рассчитайте комплексные амплитуды гармонических составляющих выходного колебания:

или .

4. Запишите выражение реакции цепи u ₂(t) или i ₂(t) как сумму гармонических составляющих.

5. Постройте спектры амплитуд и фаз входного и выходного колебаний.

Таблица 1.7

Для всех вариантов: T = 2N(M+N)p, мкс; U 0 = 1 В
Вариант	Скважность Q = T / t и	Номер гармоники
k
А		Ak	0,5	0,636		0,212		0,127
j k	–		–		–		–
Б		Ak	0,38	0,551	0,276		0,137	0,110
j k	–			–			–
В		Ak	0,25	0,450	0,318	0,150		0,090	0,106
j k	–				–
Г		Ak	0,2	0,374	0,302	0,201	0,093		0,062
j k	–					–
Д		Ak	0,167	0,318	0,274	0,212	0,138	0,063
j k	–						–

2. методические рекомендации
к выполнению задачи 1

2.1. Причины возникновения переходных колебаний.
Законы коммутации
[1, с. 185–188; 2, с. 157–159]

Режим в цепи называется стационарным или установившимся, если токи и напряжения в ней являются постоянными или изменяются как периодические функции времени. Колебания, которые происходят в процессе перехода цепи из одного установившегося режима в другой, называются переходными. Переходные колебания возникают в цепях, содержащих накопители энергии (индуктивности и емкости) в результате какой-либо коммутации: включения, отключения, переключения или внезапного изменения воздействия (постоянного или гармонического), а также внезапного изменения параметров цепи. Коммутация приводит к изменению запаса энергии в цепи, которое не может произойти мгновенно, так как реактивные элементы могут накапливать энергию или отдавать ее с течением времени.

Энергия магнитного поля индуктивности определяется протекающим через нее током:

.

Поскольку запас энергии индуктивности не может измениться мгновенно, ток через индуктивность при конечных по величине воздействиях является непрерывной функцией времени и в момент непосредственно после коммутации остается таким же, каким был в момент перед коммутацией. В этом состоит первый закон коммутации. Обычно начало отсчета времени совмещают с моментом коммутации и обозначают через t = 0₊ (момент после коммутации) и через t = 0_– (момент до коммутации). Тогда первый закон коммутации можно записать математически следующим образом:

i_L (0₊) = i_L (0_–).

Энергия электрического поля емкости определяется напряжением на ее зажимах:

.

Отсюда следует второй закон коммутации: напряжение на емкости при конечных по величине воздействиях является непрерывной функцией времени и в момент после коммутации остается таким же, каким оно было до коммутации, т. е.

u_C (0₊) = u_C (0_–).

2.2. Порядок анализа переходных колебаний классическим методом
[1, с. 188; 2, с. 159–161]

Анализ переходных колебаний классическим методом основан на составлении и решении системы уравнений, которым удовлетворяют мгновенные значения токов и напряжений в цепи.

Поскольку токи и напряжения на элементах линейной электрической цепи связаны зависимостями:

u_R = iR, ,

уравнения цепи будут линейными дифференциальными уравнениями.

Методом подстановки систему уравнений можно свести к одному уравнению более высокого порядка. Порядок дифференциального уравнения равен общему числу независимых начальных условий задачи. Обычно он равен общему числу имеющихся в цепи реактивных элементов, но может быть и меньше, если в цепи имеются контуры, содержащие только емкости и источники напряжения (uС -контуры) и сечения, в которые входят лишь независимые источники тока и индуктивности (iL -сечения).

Если в цепи имеется источник внешнего воздействия (вынуждающая сила), то колебания в цепи называются переходными, а дифференциальное уравнение цепи будет неоднородным, так как в правую его часть входит функция, характеризующая приложенное воздействие.

После отключения источника внешнего воздействия колебания в цепи называются свободными, а дифференциальное уравнение цепи является однородным (с нулевой правой частью).

Решение неоднородного уравнения, полученного при анализе переходных колебаний, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения f ⁽¢⁾ (собственной составляющей) и частного решения неоднородного уравнения f ⁽¢¢⁾ (вынужденной составляющей). Решение однородного уравнения, полученного при анализе свободных колебаний, определяется только собственной составляющей f ⁽¢⁾, так как вынужденная составляющая f ⁽¢¢⁾ = 0. В дальнейшем при решении задач собственные колебания будем отождествлять со свободными, так как математически они рассчитываются одинаково, и f ⁽¢⁾ будем называть свободной составляющей.

Таким образом, решение неоднородного дифференциального уравнения цепи имеет вид

f (t) = f ⁽¢⁾ + f ⁽¢¢⁾.

Свободная составляющая решения равна сумме экспонент

f ⁽¢⁾

где n – порядок уравнения;

p_k – корни характеристического уравнения цепи;

A_k – постоянные интегрирования.

Вынужденная составляющая решения определяется как реакция цепи на приложенное воздействие в установившемся режиме (при t ® ¥).

Характеристическое уравнение цепи получают из однородного дифференциального уравнения путем подстановки в него свободной составляющей вида

.

Постоянные интегрирования A_k определяются из законов коммутации по известным начальным условиям задачи. К начальным условиям относятся значения тех токов и напряжений в цепи, которые определяют начальный запас энергии в момент коммутации. Очевидно, это должны быть токи через индуктивности и напряжения на емкостях цепи в этот момент.

При выполнении задачи анализа переходных колебаний в ЭЦ классическим методом рекомендуется следующая последовательность действий:

• рассчитываются начальные условия задачи;

• составляется система уравнений с использованием законов Кирхгофа;

• выбирается переменная u_C или i_L,формируется дифференци­альное уравнение с этой переменной соответствующего порядка и запи­сывается его решение;

• рассчитывается вынужденная составляющая (при t ® ¥) для выбранной переменной;

• рассчитывается свободная составляющая для выбранной пе­ременной.

2.3. Переходные колебания в цепях
с одним реактивным элементом при ступенчатом воздействии
[1, с. 193–198; 2, с. 161–167]

Ступенчатое воздействие напряжения или тока описывается функцией

график которой показан на рис. 2.1. Его называют перепадом или скачком напряжения или тока. Практически перепад напряжения соответствует включению в цепь источника постоянного напряжения в момент t = 0, как, например, показано на рис. 2.2. После замыкания ключа в цепи RL потечет ток.

Алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна нулю, как следует из второго закона Кирхгофа:

u_L + u_R – U ₀ = 0,

.

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения складывается из собственной (свободной) составляющей Ae^pt и вынужденной i _вын. Последняя может быть определена при t ® ¥, когда в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение на индуктивности , что эквивалентно короткому замыканию зажимов индуктивности.

Тогда

и .

Характеристическое уравнение цепи может быть получено из дифференциального, если положить его правую часть равной нулю и в качестве переменной подставить свободную составляющую i _св = Ae^pt

,

сокращая левую и правую части уравнения на Ae^pt, получим характеристическое уравнение вида

Lp + R = 0; р = – R/L.

Для цепей с одним реактивным элементом вводится понятие постоянной времени цепи t = -1/ p, которая в рассматриваемом примере равна t = L/R, тогда

.

Очевидно, t есть время, за которое свободная составляющая колебания убывает в e = 2,72 раз. Постоянная интегрирования A определяется из закона коммутации по известным начальным условиям задачи i_L (0_–) = i_L (0₊) = 0. Нулевые начальные условия обусловлены тем, что до коммутации цепь была разомкнута итока в ней не было.

При t = 0 получаем 0 = U ₀/ R + A, A = – U ₀/ R, следовательно,

При t = t значения тока в цепи и напряжения на индуктивности соответственно равны

На рис. 2.3 представлены графики зависимостей тока в цепии напряжения на индуктивности от времени при t > 0.

Рис. 2.3

2.4. Свободные колебания в цепях с одним реактивным элементом
[1, с. 189–193; 2, с. 161–167]

Рассмотрим пример анализа свободных колебаний. Пусть в RC -контуре, схема которого приведена на рис. 2.4 в момент времени t = 0

Рис. 2.4

замыкается ключ. До коммутации в цепи был режим постоянного тока, и емкость зарядилась до напряжения u_C (0) = U ₀, так как ток

,

что эквивалентно размыканию ветви с емкостью. Напряжения на элементах контура после замыкания ключа удовлетворяют второму закону Кирхгофа u_R + u_C = 0, следовательно .

Решение полученного однородного дифференциального уравнения первого порядка представляет собой свободную составляющую

u_C (t) = u_{C св}(t) = Ae ^pt,

и характеристическое уравнение принимает вид

pRC + 1 = 0, p = –1/ RC.

Для RC -цепи постоянная времени цепи равна

t = –1/ p и t = RC.

Постоянную интегрирования A найдем из закона коммутации по известным начальным условиям задачи: при t = 0 получаем

u_C (0_–) = u_C (0₊)

U ₀ = A.

Таким образом, напряжение на емкости после коммутации изменяется по закону

тогда

При t = t

На рис. 2.5 представлены графики зависимостей тока в цепии напряжения на емкости от времени при t > 0.

Рис. 2.5

Из найденных решений следует, что процесс убывания напряжения и тока в контуре длится как угодно долго и лишь при t ® ¥ цепь переходит в режим покоя. Практически свободные колебания в контуре считаются пренебрежимо малыми по истечении времени (3…5)t.

2.5. Анализ переходных колебаний в разветвленной цепи
с одним реактивным элементом
[1, с. 197–198]

В разветвленной цепи с одним реактивным элементом и тем или иным числом резисторов и источников постоянного тока или напряжения переходные колебания анализируются классическим методом в соответствии с алгоритмом, данным в п. 2.2. Однако тот же результат можно получить, если использовать общую формулу

где f (¥) – вынужденная составляющая;

– свободная составляющая.

Постоянная времени t определяется по формулам: t = R _э C – для цепи с емкостью и t = L/R _э– для цепи с индуктивностью, где R _э – эквивалентное сопротивление двухполюсника, рассчитанное относительно зажимов реактивного элемента при условии, что задающие токи и напряжения источников равны нулю.

Пример 2.1

В цепи, схема которой представлена на рис. 2.6, в момент времени t = 0 замыкается ключ. Найдите законы изменения тока i_L (t) и напряжения u_L (t) для t ³ 0, если до коммутации в цепи был режим постоянного тока.

Рис. 2.6	Рис. 2.7

Решение

Найдем начальные условия задачи. В данном случае это ток через индуктивность при t = 0. Закон коммутации позволяет нам найти этот ток в момент t = 0_–, когда ключ был еще разомкнут, и в цепи имел место режим постоянного тока, при котором напряжение на зажимах индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов (рис. 2.7):

.

Рис. 2.8

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. 2.8):

Преобразуем составленную систему уравнений методом подстановок в одно дифференциальное уравнение с переменной i_L, для которой выполняется закон коммутации.

Для этого выразим все токи через i_L и подставим в уравнение, содержащее задающее напряжение источника:

Полученное дифференциальное уравнение удобно привести к виду

,

где коэффициент переменной i_L – 2 R / L = 1/t, что позволяет проверить правильность составления этого уравнения, опр