До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида | f (x)|= g (x)
или даже более простому | f (x)|= a
.
Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:
| f (x)|=| g (x)|
Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.
Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:
| f (x)|=| g (x)|⇒ f (x)=± g (x)
Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.
Давайте попробуем решать вот такую задачу:
|2 x +3|=|2 x −7|
Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:
|2 x +3|=|2 x −7|⇒2 x +3=±(2 x −7)
Рассмотрим отдельно каждый случай:
2 x +3=2 x −7⇒3=−7⇒∅;2 x +3=−(2 x −7)⇒2 x +3=−2 x +7.
В первом уравнении корней нет. Потому что когда это 3=−7
? При каких значениях x? «Какой ещё нафиг x? Ты обкурился? Там вообще нет x » — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной x
, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)
Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:
2 x +3=−2 x +7⇒4 x =4⇒ x =1
Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)
В итоге окончательный ответ: x =1
.
Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:
| x −1|=∣∣ x 2−3 x +2∣∣
Опять у нас уравнение вида | f (x)|=| g (x)|
. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:
x 2−3 x +2=±(x −1)
Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:
x −1=±(x 2−3 x +2)
Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.
Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:
| x −1|=∣∣ x 2−3 x +2∣∣⇒∣∣ x 2−3 x +2∣∣=| x −1|
Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)
В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:
x 2−3 x +2= x −1⇒ x 2−4 x +3=0; x 2−3 x +2=−(x −1)⇒ x 2−2 x +1=0.
Первое уравнение имеет корни x =3
и x =1
. Второе вообще является точным квадратом:
x 2−2 x +1=(x −1)2
Поэтому у него единственный корень: x =1
. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:
x 1=3; x 2=1.
Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)
Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:
| x −1|=∣∣ x 2−3 x +2∣∣;| x −1|=|(x −1)(x −2)|.
Одно из свойств модуля: | a ⋅ b |=| a |⋅| b |
(т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:
| x −1|=| x −1|⋅| x −2|
Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
| x −1|=| x −1|⋅| x −2|;| x −1|−| x −1|⋅| x −2|=0;| x −1|⋅(1−| x −2|)=0.
Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
[| x −1|=0,| x −2|=1.
Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.
Итак, уравнение:
∣∣ x − x 3∣∣+∣∣ x 2+ x −2∣∣=0
Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких x
сумма двух модулей равна нулю.:)
В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:
5+7=12>0;0,004+0,0001=0,0041>0;5+0=5>0.
Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:
∣∣ x − x 3∣∣+∣∣ x 2+ x −2∣∣=0⇒{∣∣ x − x 3∣∣=0,∣∣ x 2+ x −2∣∣=0.
А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:
x − x 3=0⇒ x (1− x 2)=0⇒[ x =0 x =±1
x 2+ x −2=0⇒(x +2)(x −1)=0⇒[ x =−2 x =1
Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: x =1
— это и будет окончательным ответом.