1.1. Задачи, структура курса
Начертательная геометрия – область науки, занимающаяся разработкой научных основ построения геометрических моделей проектируемых объектов и процессов их графического отображения.
Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов – визуализация мысли.
В курсе начертательной геометрии изучаются:
· методы отображения пространственных объектов на плоскости;
· способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;
· приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;
· способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;
· основы моделирования геометрических объектов.
1.2. Условные обозначения
· A,B,C,D – точки пространства;
· a,b,c,d – прямые линии, кривые линии;
· P,R,Q,V – плоскости в пространстве;
· П1 – горизонтальная плоскость проекций (вид сверху);
· П2 – фронтальная плоскость проекций (вид спереди);
· П3 – профильная плоскость проекций (вид сбоку);
· КЧ – комплексный чертеж;
· НВ – натуральная величина;
· ЛПС – линия проекционной связи.
1.3. Методы проецирования
Все правила построения изображений основаны на методе проекций.
Проекция – это точка пересечения проецирующей прямой линии с плоскостью про- екций.
Для получения проекции геометрического образа нужно иметь (рис. 1.1):
· геометрический образ - точка А;
· плоскость проекций - Р;
· центр или направление проецирования - S. В процессе проецирования решаются две задачи:
· получение изображения геометрического образа, то есть чертежа;
· воспроизведение геометрического образа по чертежу.
 |
Рисунок 1.1. Проецирование точки А на плоскость Р
Если в процессе проецирования решаются обе эти задачи, то полученные изображения называются обратимыми.
Существуют два способа получения изображений: центральное проецирование и параллельное проецирование.
1.3.1. Центральное проецирование
Для получения центральных проекций необходимо:
· задаться плоскостью проекций;
· центром проекций – точкой, не лежащей в этой плоскости.
 |
При заданных центре проекций и плоскости, можно построить проекцию точки, а следовательно и всего образа, но имея проекцию, нельзя по ней определить положение самой точки в пространстве.
Рисунок 1.2. Центральное проецирование отрезка прямой АВ на плоскость Р: S – центр проецирования; P – плоскость проекций; A,B – проецируемый образ; Ap,Bp – централь- ные проекции точек А,В; SA,SB – проецирующие прямые линии.
Свойства центральных проекций
· проекция точки, есть точка, причем единственная;
· проекция прямой линии, есть прямая;
· проекция кривой линии – кривая в общем случае (в частном случае – это прямая, если она расположена в проецирующей плоскости);
· если точка принадлежит отрезку прямой линии, то центральная проекция ее, расположена на проекции этого отрезка;
· если геометрический образ лежит на плоскости проекций, то его проекция совпадает с ним;
· точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит проецирующая прямая.
1.3.2. Параллельное проецирование
 |
Параллельное проецирование может рассматриваться, как частный случай цен- трального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.
Рисунок 1.3. Параллельное проецирование отрезка прямой АВ на плоскость Р: S – направление проецирования; АВ – проецируемый геометрический образ; Р – плоскость проекций.
Параллельная проекция точки – это точка пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.
Все свойства центральных проекций присущи и параллельному проецированию, но они обладают и собственными.
Свойства параллельных проекций
· если отрезок прямой делится точкой, то проекция этой точки делит проекцию отрезка в том же соотношении (АС/СВ = АрСр/СрВр);
· отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину;
· проекции параллельных прямых параллельны.
При параллельном проецировании мы представляем себя удаленными от предмета на бесконечно большое расстояние, что не естественно. На самом деле лучи, идущие в глаз зрителя, образуют коническую поверхность. Если требуется, чтобы изображение
соответствовало самому предмету, то применяют центральное проецирование. Но простота построения параллельных проекций, сохранение натуральных размеров объясняют широкое применение их в практике.
Слово «прямоугольный» часто заменяют словом «ортогональный», что в переводе с греческого языка означает «прямой» «угол».
Параллельные проекции могут быть прямоугольными и косоугольными.
Если проецирующие лучи располагаются нормально к плоскости проекций, то такие проекции называются прямоугольными или ортогональными.
Основным методом составления технических чертежей, разработанным Гаспаром Монжем, является метод ортогонального проецирования на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций. Он обеспечивает выразительность изображений предметов или геометрических образов.
1.4. Точка в системе двух и трех плоскостей проекций
На рисунке 1.4. изображены две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2. Одна из них П1 расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Другая расположена вертикально и называется фронтальной плоскостью проекций П2. Эти плоскости образуют систему плоскостей проекций П1, П2.
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций.
На рисунке 1.4. А1 – горизонтальная проекция точки А; А2 – фронтальная проекция точки А. Эти точки получились, как точки пересечения перпендикуляров к плоскостям П1 и П2, проведенных через точку А. Проецирующие прямые образовали проецирующую плоскость, перпендикулярную к плоскостям П1, П2 и к оси проекций. Это плоскость АА1АхА2. Следовательно проекции точки расположены на прямых перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной точке.
Рисунок 1.4. Проецирование точки А на две плоскости проекций П1, П2.
Повернув плоскость П1 на угол 900 вниз, получим одну плоскость – плоскость чер- тежа, а эпюру Монжа будем называть просто чертежом. При наличии оси проекций положение точки А относительно П1 и П2 можно измерить и отложить на чертеже (рис. 1.5).
Рисунок 1.5. Чертеж точки А в двух проекциях: А1Ах – расстояние от точки А до фрон- тальной плоскости проекций П2; А2Ах – расстояние от точки А до горизонтальной плос- кости проекций П1; А1А2 – линия проекционной связи.
Чтобы определить положение точки в трехмерном пространстве, вводят еще одну плоскость проекций П3. Эта плоскость перпендикулярна к плоскостям П1, П2 и ее называют профильной плоскостью проекций. Данная плоскость при пересечении с П1 и П2 образовала еще две оси проекций У и Z (рис. 1.6).
Рисунок 1.6. Проецирование точки А на три плоскости проекций П1, П2, П3.
Совместив все три плоскости проекций с плоскостью чертежа, получим комплексный чертеж точки А (рис. 1.7).
Таким образом получаем обратимый чертеж, то есть по чертежу можно найти раз- меры всех элементов геометрического образа.
В пространстве точка задается координатами, а на комплексном чертеже она задается проекциями.
Построение профильной проекции можно произвести или с помощью дуги окружности или биссектрисой угла УОУ.
Рисунок 1.7. Комплексный чертеж точки А.
Расстояние от точки А до оси Х измеряется в пространстве отрезком ААх, а на чертеже отрезком А3О. Аналогично, расстояние от точки А до оси У выражается отрезком А2О и расстояние от оси Z до точки А - отрезком А1О.
1.5. Четверти пространства
Плоскости П1 и П2 при пересечении образуют четыре двугранных угла, которые называются четвертями пространства или квадрантами (рис. 1.8).
Ось проекций делит каждую из плоскостей П1 и П2 на полуплоскости (полы), то есть П1 и – П1, П2 и – П2. Считают, что зритель всегда находится в первой четверти, а плоскости проекций непрозрачны, поэтому видимы только точки находящиеся в пер- вой четверти.
На рисунке 1.9 показано, как образуются проекции точек, расположенных в различных четвертях пространства.
Рисунок 1.8. Четверти пространства. Рисунок 1.9. Образование проекций
точек.
На рисунке 1.10 «а» дан чертеж точки А, она расположена в первой четверти: А1 - лежит ниже оси ОХ, а А2 – выше оси ОХ. Координаты точки А (х, у, z) – имеют положительное значение.
На рисунке 1.10 «б» показан чертеж точки В, расположенная во второй четверти, то есть над «- П1 » и сзади П2. В этом случае проекции В1 и В2 лежат выше оси ОХ. Координаты точки В (х, -у, z).
Точка С (рис. 1.10 «в») расположена в третьей четверти. Ее координаты С (х, - у, -z). Точка D (рис. 1.10 «г») расположена в четвертой четверти, ее координаты D (х, у, -
z).
 |  |  | |||
а) б) в) г)
Рисунок 1.10. Чертежи точек А, В, С, D.
Если среди координат точки есть отрицательные значения, то она располагается:
· во второй четверти, при «- у»;
· в третьей четверти, при «- z» и «- у»;
· в четвертой четверти, при «- z».
·
Задание:
1) Изучить лекционный материал (устно)
2) Ответьте на вопросы для самоконтроля:
1. Проанализируйте построение точек по заданным координатам: А (80, 20, 40); В (50, 0, 20); С (30, 26, 0). Постройте три проекции каждой точки.
2. Сколько проекций точки необходимо, чтобы определить ее положение в пространстве?
3. Почему одна проекция точки не определяет положение точки в пространстве?
4. Где находятся расстояния на чертеже от точки в пространстве до плоскости проекций?
5. Как найти расстояния от точки до осей проекций?
ССЫЛКА НА ВИДЕОУРОК: https://www.youtube.com/watch?v=hcQJGY6iMZw&feature=emb_logo
Лекция №2 ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
2.1. Комплексный чертеж прямой линии
Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой по- строения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.
Прямую линию в пространстве можно задать двумя точками (рис. 2.1 «а»), а на комплексном чертеже проекциями этих точек (рис. 2.1 «б»).
 |
б)
Рисунок 2.1.Определение положения прямой по двум точкам.
Но прямую линию можно задать в пространстве, как результат пересечения двух плоскостей, или задать точкой и лучом, а на комплексном чертеже проекциями этих определителей.
Прямая в пространстве может занимать какое-то случайное положение, то есть не параллельное и не перпендикулярное положение к плоскостям проекций. Такая прямая называется прямой общего положения
Отличительная черта прямой общего положения на комплексном чертеже заключается в том, что ни одна из проекций ее не перпендикулярна и не параллельна осям ко- ординат.
2.2. Определение натуральной величины отрезка прямой линии
Натуральную величину отрезка прямой линии можно определить методом прямо- угольного треугольника.
Рассмотрев рисунок 2.2, можно заключить, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС, в котором один катет равен проекции отрезка (АС=А1В1, так как они параллельны) на плоскость проекций, а другой катет равен раз- ности расстояний от концов отрезка до плоскости проекций. Угол a -угол наклона от- резка к плоскости П1, он лежит между натуральной величиной отрезка и его проекцией на эту плоскость.
 |  | ||
Прямоугольный треугольник можно построить в любом месте, лишь бы сохранялись условия: натуральная величина отрезка прямой равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет – его проекция, а второй - разность рас- стояний от концов отрезка до соответствующей плоскости проекций.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.2. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций.
Для определения b - угол наклона отрезка к плоскости П2 построения аналогичные (рис. 2.3). Только в треугольнике АВВ* сторона BВ * = DУ и треугольник совмещается с плоскостью П 2.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.3. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к фронтальной плоскости проекций.
2.3. Следы прямой линии
Следы прямой линии – это точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций.
На рисунке 2.4 показаны точки М и N – это следы прямой АВ: точка М - горизонтальный след прямой; точка N – фронтальный след прямой.
Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М1) совпадает с самим следом, фронтальная проекция (точка М2) лежит на оси проекций.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.4. Нахождение горизонтального и фронтального следов прямой линии.
Фронтальная проекция фронтального следа (точка N2) совпадает с самим следом (точкой N), а горизонтальная проекция (точка N1) лежит на оси проекций.
Следы являются границами перехода прямой линии из одной четверти пространства в другую.
Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:
1. Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x0 и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.
2. Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции еѐ с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
2.4. Прямые частного положения
Прямые линии параллельные или перпендикулярные какой-либо плоскости проекций называют прямыми частного положения.
2.4.1. Прямые параллельные одной плоскости проекций
Прямые линии параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня.
а) горизонтальная прямая – прямая параллельная горизонтальной плоскости про- екций П1.
Отличительные признаки на чертеже:
· фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций х0;
· горизонтальная проекция А1В1 – натуральная величина;
· горизонтальная проекция А1В1 составляет с осью х0 угол β – угол наклона прямой к плоскости П2.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.5. Горизонтальная прямая.
б) фронтальная прямая линия – прямая параллельная фронтальной плоскости проекций П2.
 |  | ||
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.6. Фронтальная прямая.
Отличительные признаки на чертеже:
· горизонтальная проекция А1В1 параллельна оси х0;
· фронтальная проекция А2В2 – натуральная величина;
· фронтальная проекция А2В2 составляет с осью х0 угол α – угол наклона пря- мой АВ к плоскости проекций П1.
г) профильная прямая линия – линия параллельная профильной плоскости проекций.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.7. Профильная прямая.
Отличительные признаки на чертеже:
· горизонтальная и фронтальная проекции прямой А1В1 и А2В2 перпендикулярны оси х0;
· профильная проекция прямой А3В3 – натуральная величина;
· профильная проекция прямой А3В3 наклонена к оси у0 под углом α, а к оси z0
под углом β.
2.4.2. Прямые линии параллельные двум плоскостям проекций
Прямые линии параллельные двум плоскостям проекций будут перпендикулярны третьей плоскости проекций и называются проецирующими прямыми.
 |
а) горизонтально проецирующая прямая – прямая линия перпендикулярная гори- зонтальной плоскости проекций.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.8. Горизонтально-проецирующая прямая.
Отличительные признаки на чертеже:
· прямая АВ перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1, параллельна фронтальной П2 и профильной П3 плоскостям проекций;
· горизонтальная проекция А1В1 – точка;
· фронтальная А2В2 и профильная А3В3 проекции – натуральная величина, и расположены они перпендикулярно оси х0.
б) фронтально проецирующая прямая – прямая линия перпендикулярная фрон- тальной плоскости проекций.
 |  | ||
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.9. Фронтально-проецирующая прямая.
Отличительные признаки на чертеже:
· пряма АВ перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций П2, параллельная горизонтальной П1 и профильной П3 плоскостям проекций.
· фронтальная проекция А2В2 – точка;
· горизонтальная проекция А1В1 перпендикулярна к оси х0 и является натуральной величиной прямой АВ;
· профильная проекция А3В3 перпендикулярна к оси z0 и является натуральной величиной.
 | |||
 | |||
в) профильно проецирующая прямая – прямая линия перпендикулярная профильной плоскости проекций.
а) модель б) эпюр
Рисунок 2.10. Профильно-проецирующая прямая
Отличительные признаки на чертеже:
· прямая АВ перпендикулярна к профильной П3 плоскости проекций, параллельна горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостям проекций;
· профильная проекция А3В3 – точка;
· горизонтальная А1В1 и фронтальная А2В2 проекции параллельны оси х0, проецируются на П1 и П2 в натуральную величину.
Задание:
1) Изучить лекционный материал (устно)
2) Ответьте на вопросы для самоконтроля:
1. Проанализируйте построение отрезков по заданным координатам: А (80, 30, 40) и В (20, 30, 40); С (40, 60, 10) и D (40, 10, 20); Е (50, 0, 50) и F (0, 60, 20). Постройте три проекции заданных прямых.
2. Сколько нужно иметь проекций, чтобы определить положение прямой в пространстве?
3. Что представляет собой прямая общего положения?
4. Какие частные положения прямой в пространстве вы знаете?
5. Что такое след прямой линии?
6. Как находится натуральная величина отрезка?