ПРИМЕР 2. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:
· (А) получить 100,000 долларов сегодня или
· (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.
В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.
Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.
В предыдущей теме мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.
На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. Таблица коэффициентов дисконтирования приведена в предыдущей теме про дисконтирование.
Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:
· 25,000*0,9091 = 22,727
· 25,000*0,8264 = 20,661
· 25,000*0,7513 = 18,783
· 25,000*0,6830 = 17,075
· 25,000*0,6209 = 15,523
· Итого: 94,770
Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.
Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:
25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000* 3,7908 =94,770
Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)
PV = FV*[1/(1+R)1 + 1/(1+R)2 + 1/(1+R)3 + 1/(1+R)4 +1/(1+R)5]
И так далее, в зависимости от того, сколько у вас периодов времени.
Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908.
Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:
Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент
Расчет аннуитета — наращение
В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).
ПРИМЕР 3. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:
· (А) положить сегодня 100,000 долларов в банк под 10% годовых или
· (Б) в конце каждого года делать взносы в сумме 25,000.
Для первого варианта можно воспользоваться таблицей коэффициентов наращения (она есть в предыдущей теме).
Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050
Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее. 
Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще не возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)
25,000*(1,1) 4+25,000*(1,1)3 + 25,000*(1,10)2 + 25,000*(1,10)1 + 25,000 (1,10)0 что равно
25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628
Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.
Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).
Для любителей математики формула аннуитета для расчета его будущей стоимости выглядит так:
Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент,
где коэффициент равен: [(1+R)n – 1]/R
Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо).
ПРИМЕР 4. Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:
Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год.
Коэффициенты наращения я взяла из соответствующей(самой верхней - наращение) таблицы
25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000* 6,7156 = 167,890