Перевод десятичных чисел в двоичные

Пример:

Перевести десятичное число 13 в двоичное.

13 2

12 6 2 Ответ: 1101

1 6 3 2

0 2 1

1

Можно сделать проверку:

3 2 1 0

1 1 0 1₂ = 1* 2 ⁰+ 0* 2 ¹+ 1* 2 ²+1* 2 ³ = 1 + 0 + 4 + 8 = 13₁₀

Упражнения:

1. Переведите число 1010110 из двоичной системы в десятичную.

2. Переведите число 124 из десятичной системы в двоичную.

Компьютер пользуется очень простыми правилами сложения и умножения:

Степени числа 2:

Несколько арифметических примеров в двоичной системе счисления:
1) Сложить числа 111₂ и 1₂.

Проверка:
111₂ = 1×2⁰ + 1×2¹ + 1×2² = 7₁₀
1₂ = 1×2⁰ = 1₁₀
1000₂ = 0×2⁰ + 0×2¹ + 0×2² + 1×2³ = 8₁₀
7 + 1 = 8

2) Вычесть из числа 1101₂ число 11₂.

Проверка:
1101₂ = 1×2⁰ + 0×2¹ +1×2² + 1×2³ = 13₁₀
11₂ = 1×2⁰ + 1×2¹ = 3₁₀
1010₂ = 0×2⁰ + 1×2¹ + 0×2² + 1×2³ = 10₁₀
13 - 3 = 10

3) Умножить числа 101₂ и 110₂.

Проверка:
101₂ = 1×2⁰ + 1×2² = 5₁₀
110₂ = 1×2¹ + 1×2² = 6₁₀
11110₂ = 1×2¹ + 1×2² + 1×2³ + 1×2⁴ = 30₁₀
6 × 5 = 30

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число.

Например, вы можете работать в шестеричной системе, тогда в ней должно быть 6 цифр (символов алфавита): 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Чтобы перевести какое-нибудь число (например, 235) из этой системы в десятичную, нам нужно разложить его по степеням шестерки (основания системы): 235₆ = 5×6⁰ + 3×6¹ +2×6² = 5 + 18 + 72 = 95₁₀ А чтобы перевести число из десятичной системы в шестеричную, нужно делить это число на 6 (на основание системы счисления) с остатками:

95: 6 = 15 (5)
15: 6 = 2 (3)
95₁₀ = 235₆

Аналогично и в любых других системах счисления. В программировании часто используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Рассмотрим их подробнее.

В восьмеричной системе должно быть 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Переведем, например, число 137 из восьмеричной системы в десятичную:

137₈ = 7×8⁰ + 3×8¹ + 1×8² = 7 + 24 + 64 = 95₁₀

Теперь наоборот, число 76 из десятичной системы в восьмеричную:

76: 8 = 9 (4)
9: 8 = 1 (1)
76₁₀ = 114₈

А можно ли перейти из восьмеричной системы в двоичную? Казалось бы придется переходить сначала из восьмеричной в десятичную, а потом уже из десятичной в двоичную. Но оказывается есть более простой способ. Сначала каждое число, соответствующее цифре восьмеричной системы, представим в виде трехразрядного двоичного кода (переведем в двоичную систему).

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, надо каждую его цифру заменить на соответствующую тройку цифр (двоичный код).

Например, переведем восьмеричное число 351 в двоичное:
351₈= 011 101 001 = 11101001₂

Для перевода двоичного числа в восьмеричное надо наоборот, разбить исходное число на тройки цифр, начиная с конца, и заменить каждую тройку на соответствующую ей цифру восьмеричной системы.

Например, переведем двоичное число 11100110 в восьмеричное:
11100110₂ = 011 100 110 = 346₈

Теперь рассмотрим шестнадцатеричную систему счисления. В ней должно быть 16 цифр. Обозначение первых десяти можно взять из десятичной системы счисления, а для остальных шести решили использовать первые шесть букв латинского алфавита: 10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Переведём число А1F8 из шестнадцатеричной системы в десятичную:

А1F8₁₆ = 8×16⁰ + 15×16¹ + 1×16² + 10×16³ = 8 + 240 + 256 + 40960 = 41464₁₀

В обратную сторону: число 196 из десятичной системы в шестнадцатеричную:
196: 16 = 12 (4),

т.е. 196₁₀ = С4₁₆

А есть ли простая связь между числами двоичной и шестнадцатеричной систем? Оказывается, есть и аналогична связи между числами двоичной и восьмеричной систем.

Опять запишем каждое число, соответствующее цифре шестнадцатеричной системы в виде двоичного кода, только теперь четырехразрядного.
Теперь для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную надо каждую его цифру заменить на соответствующую четверку двоичных цифр.

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления надо наоборот, разбить исходное число на группы из четырех цифр, начиная с конца, и заменить каждую четверку на соответствующую ей цифру шестнадцатеричной системы.

Примеры. Перевести число 5А1 из шестнадцатеричной системы в двоичную:

5А1₁₆ = 0101 1010 0001 = 10110100001₂

Перевести число 1101101 из двоичной системы в шестнадцатеричную:

1101101₂ = 0110 1101 = 6D₁₆

Контрольные вопросы:

1. В чем заключаются достоинства двоичного кодирования информации?

2. Как кодируются тексты?

3. Как кодируются изображения?

4. На чем основано кодирование числовой информации для компьютера?

5. Дать определение системы счисления, основания системы счисления.

6. Сформулировать правило перевода чисел, записанных в десятичной системе счисления

a) в двоичную систему счисления,

b) восьмеричную систему счисления,

c) шестнадцатеричную систему счисления.

7. Сформулировать правило перевода чисел, записанных в 2-й, 8-й, 16-й системе счисления в десятичную систему счисления.

8. Сформулировать правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и наоборот.

9. Сформулировать правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления и наоборот.