ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА MS EXCEL




Часто задачи, с которыми приходится сталкиваться в повседневной практике, являются многовариантными. Например, такой является задача распределения ресурсов, когда приходится отыскивать наилучшее решение при ограничениях, накладываемых на сырье, время, оборудование, человеческий труд. Ошибки, допущенные при решении подобных задач, оборачиваются в реальной жизни громадными потерями. Поэтому возникает необходимость применения для анализа экономических ситуаций и систем математических методов и современной вычислительной техники. Совокупность таких методов называется математическим программированием. Существует целый ряд методов, основанных на идеях математического программирования, но наибольшее применение нашло линейное программирование - метод моделирования, когда условия задачи выражены в форме линейных соотношений. Метод линейного программирования включает в себя ряд шагов, общих для всех типов задач линейного программирования. На первом этапе строится математическая модель задачи.

Для построения математической модели необходимо:

1. Определить переменные задачи.

2. Определить цель и описать её через переменные задачи.

3. Составить систему ограничений на ресурсы.

На втором этапе находится решение задачи с помощью программы MS Excel и проверяется его оптимальность.

Рассмотрим в качестве примера моделирования следующую задачу:

Пример 1. Завод производит два вида деталей - А и В. Для производства 1 детали вида А требуется 0,04 ч работы оборудования и 0,04 кг сырья; для детали вида В требуется соответственно 0,02 ч работы оборудования и 0,01 кг сырья. Оборудование работает круглосуточно. Ежедневно со склада на завод поступает 16 кг сырья для производства деталей. Доход от продажи одной детали А составляет 0,3 ден.ед., детали В - 0,1 ден.ед. Какое количество деталей каждого вида следует производить ежедневно, чтобы прибыль от продажи деталей была максимальной (в предположении, что все детали будут реализованы)?

Построим математическую модель поставленной задачи.

В качестве переменных задачи возьмем количество деталей каждого вида:

x 1 - количество деталей вида А;

x 2 - количество деталей вида В.

Целью производства является прибыль, которая будет получена от продажи деталей, произведенных за день. Составим целевую функцию:

Z = 0,3 x 1+0,1 x 2

Построим систему ограничений на ресурсы. Имеется два вида ограничений: время работы оборудования и сырьё для производства деталей. Выразим их через переменные x 1 и x 2.

Производство одной детали вида А занимает 0,04 ч работы оборудования, для детали В время составляет 0,02 ч. С учетом количества произведенных за день деталей общее время, затраченное на их обработку составит: 0,04 x 1 +0,02 x 2 ч. Эта величина очевидно не должна превышать 24 ч в день.

Аналогично составим ограничение на сырьё: ежедневный расход сырья составит 0,04 x 1 +0,01 x 2 кг, и не должен превысить 16 кг в день.

Таким образом, математическая модель задачи будет следующей:

Найти максимум целевой функции

Z = 0,3 x 1 +0,1 x 2 ® max

при следующих ограничениях

0,04 x 1+0,02 x 2 ≤ 24 ч/день (на время работы оборудования);

0,04 x 1+0,01 x 2 ≤ 16 кг/день (на сырье).

Очевидно, будут справедливы условия неотрицательности переменных:

x 1, x 2 ≥ 0

Мы получили совокупность уравнений и неравенств, описывающих условия задачи. Очевидно, что нахождение решений системы ограничений, удовлетворяющих условиям неотрицательности, при которых целевая функция примет максимальное значение, позволит составить оптимальный план производства деталей в заданных условиях.

 

При решении задач линейного программирования традиционными способами приходится выполнять большое количество вычислений. Используя для решения электронные таблицы MS Excel, можно существенно облегчить эту работу. В программе MS Excel предусмотрена специальная надстройка, позволяющая работать с задачами оптимизации и, в частности, с задачами линейного программирования. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу из Примера 1. Математическая модель задачи представлена в виде:

Найти максимум целевой функции

Z = 0,3 x 1 +0,1 x 2 ® max

при ограничениях

0,04 x 1+0,02 x 2 ≤ 24 ч/день (на время работы оборудования)

0,04 x 1+0,01 x 2 ≤ 16 кг/день (на сырье)

и при условиях неотрицательности переменных:

x 1, x 2 ≥ 0

Здесь x 1 - количество деталей вида А, x 2 - количество деталей вида В, выпускаемых заводом.

На чистом рабочем листе MS Excel создаем форму для ввода данных задачи и заполняем её данными:

В ячейки B3:В4 вводим произвольные значения переменных задачи (например, равные 1). В ячейки Е3:F4 вводим коэффициенты при неизвестных из системы ограничений. В ячейки G3:G4 вводим формулы, соответствующие левым частям системы ограничений, при этом значения переменных x 1, x 2 берутся из ячеек В3:В4. Наконец, в ячейку G6 вводим формулу для расчета значения целевой функции Z.

После ввода данных выполняем команду меню Сервис/Поиск решения. При этом открывается диалоговое окно Поиск решения, которое необходимо заполнить.

В качестве целевой ячейки выбираем ячейку $G$6, т.к. в ней записано значение целевой функции. По условию задачи целевая функция должна быть максимальной, поэтому переключатель направления поиска устанавливаем на позицию: максимальному значению. Затем нажимаем кнопку Предположить. В поле Изменяя ячейки вводим адреса искомых переменных задачи: $B$3:$В$4. Далее вводим ограничения задачи, нажав кнопку Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения:

В поле Ссылка на ячейку вводится адрес ячейки $G$3, содержащей левую часть ограничения, в среднем поле выбирается знак ограничения <= при помощи кнопки выпадающего списка, в поле Ограничение указывается адрес ячейки $I$3, содержащей правую часть ограничения. Закончив ввод ограничения, нужно нажать кнопку Добавить, чтобы ограничение было добавлено к списку ограничений. Аналогично вводим следующее ограничение: $G$4 <= $I$4.

После ввода ограничений добавляем условия неотрицательности переменных:

$B$3 >= 0

$B$4 >= 0

После ввода последнего ограничения вместо кнопки Добавить нужно нажать кнопку ОК, тогда полный список ограничений появится в окне Поиска решения:

Нажмите кнопку Параметры, откроется одноименное диалоговое окно. Параметры, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач. В нашем случае необходимо только установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода, и нажать кнопку ОК. Можно также установить флажок Неотрицательные значения, что позволит не вводить условия неотрицательности.

На экране вновь появится диалоговое окно Поиск решения. Нажмите на кнопку Выполнить. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения с отчетом.

Нажмите кнопку ОК, результат оптимального решения задачи будет показан в таблице:

Из таблицы следует, что для получения максимальной прибыли в 140 ден.ед. нужно еженедельно выпускать 200 деталей вида А и 800 деталей вида В. Также очевидно, что при таком плане производства ресурсы будут использованы полностью.

Внимание! Иногда по смыслу задачи требуется, чтобы переменные принимали целые значения, например, если речь идет о количестве выпущенных столов и стульев. Тогда при вводе ограничения в среднем поле из списка выбирается значение цел:

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: