Представления основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора.

ГЛАВА 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Правило Лопиталя

Наряду с основным приемом нахождения пределов функции - методом выделения главной части, существуют и другие способы отыскания пределов. Здесь будут представлены три теоремы, с помощью которых можно находить пределы типа .

Теорема 1. Пусть функции и удовлетворяют условиям:

а) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением может быть самой точки ;

б) пусть также ;

в) в проколотой окрестности точки ;

г) существует ,

тогда существует , причем

□ По условию и . Доопределим и в точке , а именно положим . Так как и дифференцируемы в окрестности точки , то они непрерывны в этой окрестности точки , то есть на отрезке . По условию, откуда следует, что при . Тогда можно записать формулу Коши на сегменте .

Если , то +0, следовательно

. Аналогично, если и . ■

Теорема 2. Пусть функции и удовлетворяют условиям:

а) определены и дифференцируемы при :

б) :

в) :

г) существует предел ,

Тогда существует и предел , причем они равны, т.е.

□ Без ограничения общности можно считать, что . Сделаем замену . Тогда, очевидно, что функции и определены в интервале и .

, .

Тогда в силу теоремы 1, имеем: .

Теорема справедлива, и если . ■

Теорема 3. Пусть функции и :

а) определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением может быть самой точки ;

б) ;

в) ;

г) существует предел .

Тогда существует предел , причем

Замечание 1. В силу теорем 1-3 существует общий способ нахождения предела отношения двух функций, основанный на равенстве . Этот способ называется правилом Лопиталя.

Замечание 2. Если для производных и выполняют условия теорем 1-3, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. .

Пример 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1) . 2) . 3) .

Кроме неопределенностей и встречаются еще неопределенности других типов.

Под раскрытием неопределенности типа понимают нахождение предела , когда и .

Под неопределенностью типа понимают нахождение предела , если и .

Есть и другие неопределенности: ; ; .

Неопределенности типа и сводятся к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.

Другие неопределенности обычно сводятся к неопределенностям или путем логарифмирования выражения

Пример 2. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1) ;2) ; 3) ;

4) .

Формула Тейлора

Здесь будет доказана формула, которая является одной из основных в математическом анализе и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в других дисциплинах.

Теорема 4. ( Тейлор ). Пусть функция имеет в некоторой окрестности т. (n+1)- ю производную, x – любое значение аргумента из этой окрестности и p – произвольное положительное число. Тогда между точками и найдется также точка , что будет справедлива формула Тейлора.

, (1)

где . (2)

Выражение называется остаточным членом в формуле Тейлора, записанным в общей форме или в форме Шлемильха-Роша.

□ Обозначим многочлен, стоящий в (1), т.е.

Тогда формула (1) имеет вид

или

( 3 )

Формула Тейлора (1) будет доказана, если будет установлено, что определяется по формуле (2).

Возьмем в окрестности точки некоторое число

и рассмотрим отрезок . Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t , которую получим из (3):

(4)

Эта функция удовлетворяет условиям т. Ролля по переменной t. Она непрерывна и дифференцируема на , т.к. дифференцируема раз. Вычислим значения на концах отрезка .

Запишем подробнее:

на .

, т.е.

При имеем

из формулы (3) по определению . Т.е. . Тогда по теореме Ролля , что . Найдем :

Таким образом .

Таким образом доказано, что остаточный член имеет вид (2), если имеет место формула (1). ■

Замечание 1. Ясно, что аналогичное доказательство будет, если , т.е. если брать точку слева от точки .

Замечание 2. Если , то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

. (5)

Замечание 3. Рассмотрим частный случай, разложение по формуле Тейлора алгебраического многочлена, т.е.

Так как , то , и формула принимает вид:

Здесь - любая точка вещественной прямой. Таким образом, любой многочлен можно представить как многочлен по степени , где - любое число.

Замечание 4. Обозначим , .

Тогда : и формула Тейлора в дифференциальной форме будет иметь вид:

или

Формула Тейлора выведена с остаточным членом в общей форме. Существуют и другие виды остаточного члена.

Обозначим , .

1) Положим . Тогда

или

Такой вид остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа.

2) Положим . Тогда

, .

или

- остаточный член в форме Коши.

3) Пусть функция непрерывна в точке , следовательно функция также непрерывна в точке , т.к. при , т.е. при . Запишем формулу Тейлора с остаточным членом и затем преобразуем её:

т.к. при .

Таким образом .

Последнее слагаемое

называется остаточным членом в формуле Пеано. Итак

Очевидно, что разные формы остаточного члена верны и при , т.е. при .

Представления основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора.

Практическая значимость формулы Тейлора состоит в том, что она позволяет заменить функцию , имеющую на промежутке производные до -го порядка включительно, многочленом -й степени

а различные формы остаточного члена позволяют оценить возникающую при этом погрешность. Таким образом формула Тейлора может быть использована для получения различных формул для приближенного вычисления значений функций.

Пусть обладает следующими свойствами: , что и из окрестности точки выполняются условия: , т.е. все производные равномерно ограничены.

Возьмем остаточный член в формуле Лагранжа при .

, т.к ,

то получим:

Это есть универсальная оценка остаточного члена.

Поскольку , то выбирая достаточно большой номер можно сделать остаточный член как угодно малым.

Получим представление некоторых элементарных функций с помощью формулы Тейлора по степеням , т.е. по формуле Маклорена, когда .

1. .

Тогда формула Маклорена для функции будет иметь вид:

Остаточный член в форме Лагранжа ():

;

При любом фиксированном , остаток стремится к 0, т.к.

2. ; ; .

При .

При и

Если , то .

Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:

3. ; ;

При .

Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:

Остаточный член при .

4. ;

; ; : .

Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:

Остаточный член в форме Лагранжа

;

, т.е. при .

5. ; .

Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:

При

Ясно, что при - целое число, то получим бином Ньютона

Пусть функция имеет в окрестности точки все производные до n-го порядка включительно. Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в ряде Пеано.

Этой формулой удобно пользоваться для вычисления пределов.

Пример 3. Вычислить пределы, разложив функцию по формуле Тейлора.

1) .

При имеем , тогда

Здесь использовано: .

2) .

; ;

Исследование функций

Монотонность. Теорема 5. ( Необходимый и достаточный признак монотонности). Для того чтобы дифференцируемая на открытом промежутке функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы:

□ Необходимость. Пусть дифференцируема и не убывает на . Докажем, что .

Рассмотрим отношение .

Если , то .

Перейдем к пределу при , и по теореме сравнения получим

Аналогично доказывается в случае не возрастания функции.

Достаточность. Пусть . Докажем, что не убывает.

Пусть , причем . На отрезке непрерывная и дифференцируемая, следовательно выполняется теорема Лагранжа:

. (6)

и не убывает. ■

Следствие. Если , то строго возрастает на , если , то строго убывает на .

Справедливость следует из (6).

Отметим, что условия и не являются необходимыми для строгого возрастания и убывания. Например, , а функция строго возрастает всюду.

Теорема остается справедливой для непрерывных функций, не имеющих производных в конечном числе точек. Для проверки достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал множеством точек, где производные не существуют.

Экстремумы. Пусть определена на открытом промежутке .

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторая окрестность точки , что

Точка называется точкой минимума функции , если

Если выполняется условие (или ), то называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

очки максимума и минимума (строгого max и строгого min) называются точками экстремума функции .

Очевидно, что если , то точка максимума. Если , то точка минимума.

Теорема 6. (Ферма, необходимый признак экстремума ). Если дифференцируемая в окрестности точки и функция имеет в точке экстремум, то

□ Пусть при имеется экстремум, например максимум. Тогда и . Откуда

Так как функция дифференцируемая, то предел в определении производной

не зависит от того, как стремится слева или справа. Но если , то , а если , то . Следовательно .

Аналогичное доказательство и для минимума. ■

Геометрически теорема выражает тот факт, что, если в точке

есть экстремум, то касательная к кривой в этой точке параллельна OX.

иии

Рис.2

Точки, в которых называются стационарными. Точки, в которых первая производная равна 0 или не существуют, называются критическими.

Теорема 7. ( I-й достаточный признак экстремума ) Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, может быть самой точки ). Тогда, если при , а при , то - точка строго локального максимума. Если при , а при , то - точка строгого минимума.

□ Пусть знак меняется с + на – в точке .

при

при .

На отрезке запишем формулу Лагранжа:

На формула Лагранжа имеет вид:

Таким образом , следовательно - точка строгого max. Для min доказательство аналогично. ■

Пример 4. Определить интервалы монотонности и найти экстремумы.

1) . Найдем сначала критические точки.

Проверим признак в каждой критической точке, одновременно исследуя монотонность.

Рис.3

2) поэтому экстремумов нет и функция всюду возрастает.

3) ; . Производная в точке не существует, но при переходе через неё изменяет знак с плюса на минус, поэтому есть точка max.

4) ; . Функция всюду возрастает, экстремумов нет.

Теорема 8. (II-й достаточный признак экстремума). Пусть дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки и . Тогда, если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.

□ Разложим по формуле Тейлора в окрестности точки по степеням при

, (7)

где

Поскольку , то из (7), получаем:

Пусть т.к. непрерывна в окрестности точки ,

то что т.е. .

Тогда

. Т.е –точка максимума.

Аналогично теорема доказывается в случае минимума. ■

Пример 5. Найти экстремумы функции при .

.Производная равна нулю в точках и .

Находим вторую производную и вычисляем её в этих точках:

В точке -минимум, а в точке -максимум.

Теорема 9. Пусть непрерывна и дифференцируема раз в окрестности точки , причем , но , тогда:

а) если -четное и , то точка максимума.

б) если -четное и , то точка минимума.

в) если - нечетное, то в точке не имеет экстремума.

Доказать самостоятельно, записав формулу Тейлора для членов.

Замечание 1. Если не существует, то исследование на проводят с помощью 1-ого признака.

Замечание 2. По теореме Вейерштрасса, функция непрерывная на отрезке принимает на нем свое max и min значения (достигает и ). Тогда наибольшее и наименьшее значения функция на принимает либо на концах отрезка в точках и ,либо в точке локального max и min.