Средние величины
Средняя величина (СВ) – единая количественная обобщающая характеристика признака в данной совокупности. Иными словами, СВ – это обобщающий показатель, выражающий типичные размеры количественно варьирующих признаков (возраста, стажа работы, товарооборота, уровня преступности и т.д.) качественно однородных массовых общественных явлений и процессов.
Сущность СВ состоит в том, что в них погашаются случайные отклонения, присущие отдельным единицам совокупности, и выражаются общие закономерности, типичные для всей совокупности. В этом и состоит действие закона больших чисел. Таким образом, одно из главных назначений СВ – сглаживать, элиминировать случайные колебания.
Требования к расчёту СВ:
- массовость данных (т.е. достаточно большое число наблюдений, чтобы можно было делать достоверные выводы);
- однородность совокупности (не следует рассчитывать СВ по качественно разнородным данным, например, среднюю зарплату по директорам и уборщицам).
Необходимость расчёта СВ – наличие такого характерного свойства массовых явлений, как вариация их значений, т.е. колеблемость в один и тот же момент времени. Именно варьирующие признаки (принимающие различные значения) представляют главный интерес для статистики.
Рассмотрим применение в статистическом анализе трёх средних величин:
- средняя арифметическая (среднее значение признака X в данной совокупности);
Mo – мода – наиболее распространенное значение признака X;
Me – медиана – середина ранжированного ряда, т.е. это значение признака X, которое делит ранжированный ряд на 2 равные части.
Напомним: ранжированный ряд – это вариационный ряд, варианты значений признака (X) в котором расположены по возрастанию или убыванию.
Первая ситуация – несгруппированные (индивидуальные) данные
1 задача
Данные о возрасте работников отдела (лет):
34 30 22 48 22
Средний возраст
= 
= 
= 31,2 лет. (n – число слагаемых, то есть единиц совокупности).
Формула расчёта носит название – средняя арифметическая простая.
Модальный возраст Mo = 22 года, т.к. это значение встречается чаще всего.
Для расчёта медианы надо ранжировать исходный ряд (например, по возрастанию):
22 22 30 34 48
Медианный возраст Me = 30 лет, т.к. это значение находится в середине, являясь третьим по ранжиру из пяти.
Вывод:
Половина лиц моложе 30 лет, а другая половина – старше 30.
2 задача
Данные о возрасте работников отдела (лет):
34 30 22 48 22 48
Средний возраст
= = 
= 34,0 года.
Модальный возраст Mo = 22 и 48 лет, т.к. эти значения встречаются чаще всего.
Для расчёта медианы надо ранжировать исходный ряд (например, по возрастанию):
22 22 30 34 48 48
Медианный возраст Me = 32 года, т.к. это значение находится в середине, являясь третьим по ранжиру из пяти.
Вывод:
Половина лиц моложе 32 лет, а другая половина – старше 32.
Общее правило для медианы:
Так как носителем медианного значения является та единица, которая находится в середине, то для её определения надо объём ряда (число изучаемых единиц) поделить на 2.
Вторая ситуация – сгруппированные данные (дискретный ряд распределения)
3 задача
Данные о сумме начисленных штрафов за административные правонарушения в районе:
| Штраф, руб. (X) | ИТОГО | |||||
| Число правонарушителей, чел. (m)[1] | ||||||
| Накопленные частоты (S) | --- | |||||
| Расчет S | 5+15 | 20+11 | 31+2 | 33+2 | --- |
Средний размер штрафа:
= 
= 
= 122,9 руб.
Это – средняя арифметическая взвешенная. Расчёт по простой формуле даёт искажённый результат:
= = 
= 150,0 руб.,
так как учитывает не каждый частный случай, а только варианты значений.
Модальный штраф Мо = 100 руб.
Вывод: наиболее часто правонарушители штрафовались на сумму 100 руб. (больше всего – 15 раз!).
Медианой будет штраф 18-го (35/2=17,5) правонарушителя по ранжиру (в нашей задаче ряд ранжирован). Для чёткого определения медианного значения надо дополнить данные рядом накопленных (кумулятивных) частот (S). Для этого к каждой предыдущей частоте m добавляется последующая.
В первой группе правонарушителей (50 руб.) всего 5 чел, а в следующей (100) их 15, т.е. вместе уже 20 чел. Следовательно, искомый нарушитель оказался в числе этих 15 человек, т.е. его штраф также 100 руб.
Me = 100 руб.
Вывод: у половины правонарушителей штраф 100 руб. и менее, а у другой половины – 100 и более.