Ход работы:
1. 
.
2. Размах варьирования: 
.
3. r=[1+3,2 lg n]= [1+3,2 lg 100=[7.4]=7;
4. Длина интервалов: 
5.Теперь найдем границы интервалов каждого признака таким образом, чтобы минимальное значение стало серединой первого интервала, а максимальное – серединой последнего. Для этого отступим от 
и 
на полшага, а к правому концу каждого интервала будем прибавлять длину шага:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
.
Таким образом, фактическое число интервалов совокупности равно 8.
Убедимся в правильности своих подсчетов: действительно, значения 
=63,97 больше максимального значения 
=60,8.
6. Найдем серединыполучившихся интервалов: 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
.
О верности подсчетов свидетельствует равенство (возможно приближенное) последних, восьмых, значений соответственно .
7. Запишем вариационный ряд признака Х.
Таблица 2
| х | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
8.Заполним таблицу «Статистическая совокупность» для признака Х:
Таблица 3
Статистическая совокупность измеримого признака Х
| Интервалы α i-1 – α i |
Середины интерв.
| Частоты |
Плотность относительн. частот
| |||
Абсолютн.
|
Относительн.
|
Накоплен. абсолютн.
|
Накопленная относительн.
| |||
| 13.01-19.38 | 16.2 | 0.04 | 0.0063 | |||
| 19.38-25.75 | 22.57 | 0.08 | 0.04 | 0.0126 | ||
| 25.75-32.12 | 28.94 | 0.2 | 0.12 | 0.0314 | ||
| 32.12-38.49 | 35.31 | 0.26 | 0.32 | 0.0408 | ||
| 38.49-44.86 | 41.68 | 0.15 | 0.58 | 0.0235 | ||
| 44.86-51.23 | 48.05 | 0.15 | 0.73 | 0.0235 | ||
| 51.23-57.6 | 54.42 | 0.08 | 0.88 | 0.0126 | ||
| 57.6-63.97 | 60.8 | 0.04 | 0.96 | 0.0063 | ||
|
9. Построим полигон (ломаная линия) и гистограмму («столбики») распределения, затем – полигон накопленных частостей (рис. 1 и 2):
Рисунок 1
Полигон и гистограмма распределения признака Х 
Рисунок 2
Эмпирическая функция распределения F*(X)
10.Начинаем заполнение расчетной таблицы для нахождения выборочных оценок:
Таблица 3
Расчет выборочных оценок признака Х
Серед
Инт.
| Частота
| Относит частота
|
 
|
|
|
|
|
| 16,2 | 0.04 | 0,648 | -21,467 | 18,434 | -395,724 | 8495,123 | |
| 22,57 | 0.08 | 1,8056 | -15,097 | 18,234 | -275,288 | 4156,111 | |
| 28,94 | 0.2 | 5,788 | -8,7273 | 15,233 | -132,944 | 1160,245 | |
| 35,31 | 0.26 | 9,1806 | -2,3573 | 1,4448 | -3,40579 | 8,02847 | |
| 41,68 | 0.15 | 6,252 | 4,0127 | 2,4153 | 9,691731 | 38,89001 | |
| 48,05 | 0.15 | 7,2075 | 10,383 | 16,170 | 167,889 | 1743,141 | |
| 54,42 | 0.08 | 4,3536 | 16,753 | 22,452 | 376,1356 | 6301,287 | |
| 60,8 | 0.04 | 2,432 | 23,133 | 21,405 | 495,1525 | 11454,21 | |
|  =
37,667
| 
115,7885
|  =
241,5064
|  =
33357,04
|
11. Выборочные оценки для признака Х находим по данным таблицы 5 и формулам для сгруппированных данных:
= 37,667;
= 115,7885;
= 10,76;
= 0,19; 
= -0,51.
12. Исправленные оценки признака Х:
- выборочное среднее = 
= 37,67;
- исправленная дисперсия 
= 116,958;
- исправленное среднеквадратичное отклонение 
= 10,81;
-исправленная асимметрия 
= 1,015*0,19=0,193;
- исправленный эксцесс 
= -0,47.
13.Найдем моду и медиану по сгруппированным данным признака Х: 
=26 – наибольшая частота, (32.12-38.49) – модальный интервал, 
=20; 
=15; 
тогда мода
=34,37.
Накопленная частота 
=32, не превосходящая половины выборки 
=100/2=50 (
); (32.12-38.49) – медианный интервал; тогда медиана 
=36,53.
Выводы: а) 
,
б) А* = 0,193 – больше нуля, значит полигон распределения скошен, правая ветвь длиннее левой, начиная от вершины: левосторонняя асимметрия. А* близко к нулю.
В) Е* = -0,47 – меньше нуля, гистограмма – плосковершинная (по сравнению с нормальным распределением).
г) Можно предположить, что выборка произведена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение.
14. Проверим, взята ли данная выборка (для измеримого признака Х) из нормально распределенной генеральной совокупности.
(помним, что =37,67 и 
=10,81.)
Формулируем статистическую гипотезу Но: генеральная совокупность измеримого признака Х, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону при данном уровне значимости 
=0,05, с плотностью 
, где а и 
- параметры нормального распределения.
а). Выпишем границы интервалов и абсолютные частоты в них
| Интервалы α i-1 – α i |
Середины интерв.
|
Абсолютн. частота
|
| 13.01-19.38 | 16.2 | |
| 19.38-25.75 | 22.57 | |
| 25.75-32.12 | 28.94 | |
| 32.12-38.49 | 35.31 | |
| 38.49-44.86 | 41.68 | |
| 44.86-51.23 | 48.05 | |
| 51.23-57.6 | 54.42 | |
| 57.6-63.97 | 60.8 |
Видим, что в первом и последнем интервалах абсолютная частота меньше пяти. Объединяем первые два и последние два интервала, число интервалов r равно теперь 6, значит число степеней свободы к = r – 3 = 3 и 
= 
=7,8.
б). Заполняем расчетную таблицу:
Таблица 4
Проверка гипотезы Но по критерию Пирсона
Левая граница
интерв.
| Правая гран.
нтерв.
|
Абс.
Частот
| Zi=
| Ф(zi) |
|
|
|
| 13,01 | 25,75 | -2,28 | -0,4887 | 0,1244 | 0,01 | ||
| 25,75 | 32,12 | -1,10 | -0,3643 | 0,1693 | 0,56 | ||
| 32,12 | 38,49 | -0,51 | -0,1950 | 0,2269 | 0,48 | ||
| 38,49 | 44,86 | -0,08 | 0,0319 | 0,2167 | 2,05 | ||
| 44,86 | 51,23 | 0,67 | 0,2486 | 0,1458 | 0,01 | ||
| 51,23 | 63,97 | 1,25 | 0,3944 | 0,1029 | 0,28 | ||
| 2,80 | 0,4973 |  1
|  =3,4
|
Получили, что 
=3,4 – меньше, чем 
=7,8, значит гипотеза нормальности распределения принимается.
в). Запишем формулу плотности теоретического распределения f(x): принимаем а =37,67, 
=10,81. Итак, теоретическая функция распределения измеримого признака Х
.
Варианты заданий
Вариант 1.
71.6
89.0
73.7
92.0
88.2
73.1
80.6
81.2
74.6
66.2
80.5
79.3
80.9
72.5
76.5
85.9
78.4
79.9
73.1
73.4
67.2
78.3
80.2
75.2
82.9
81.9
64.7
75.4
75.8
77.3
75.9
65.8
74.4
71.8
75.5
85.5
69.3
71.1
78.2
75.4
82.7
77.7
89.4
77.4
78.8
80.1
70.4
76.4
85.5
75.3
86.6
72.7
83.1
83.0
86.2
80.9
82.3
78.1
90.4
85.9
90.5
68.7
74.6
88.9
80.2
81.8
73.9
72.5
75.6
78.9
77.1
69.5
85.4
72.6
73.6
85.0
81.6
85.8
84.4
80.8
80.4
65.7
73.4
78.6
84.1
70.5
74.3
79.0
72.0
80.9
95.6
86.2
74.8
71.5
73.5
72.1
78.9
78.6
82.6
80.6
Вариант 2
42.7
32.9
37.0
28.8
34.0
39.7
44.9
38.5
31.5
36.6
30.2
38.4
35.5
45.9
37.7
37.4
38.8
42.8
39.4
54.3
37.4
37.1
29.6
31.4
47.1
31.1
43.2
29.6
31.4
47.1
28.2
31.3
29.0
32.4
26.6
34.6
36.1
41.2
32.3
48.7
35.1
37.1
42.3
44.3
37.8
37.9
41.7
23.2
47.7
32.4
43.8
31.7
44.5
37.0
40.3
40.5
41.1
32.9
43.0
32.7
49.9
36.7
42.5
26.4
34.2
37.2
33.3
38.8
25.2
33.7
49.2
35.2
32.9
37.5
37.9
47.0
38.6
29.3
41.0
44.5
44.2
43.5
41.0
43.7
27.3
38.7
30.8
38.1
44.3
36.9
36.2
42.8
37.6
29.3
30.2
42.5
39.6
37.1
16.6
43.1
Вариант 3.
84.5
81.4
74.3
66.8
81.0
82.9
62.9
81.4
67.8
75.3
71.5
80.6
60.3
60.6
78.4
66.4
74.7
77.2
77.9
76.7
73.2
75.2
78.9
80.0
84.0
69.4
81.6
76.9
78.8
72.9
76.4
69.7
91.0
72.2
63.3
83.7
73.6
67.3
67.4
70.5
78.2
62.1
77.8
80.2
64.2
84.0
74.4
70.3
71.5
71.7
78.2
69.5
67.7
91.7
72.8
70.3
69.8
87.8
90.2
78.9
71.9
76.0
95.6
84.3
87.7
78.7
63.3
73.0
92.3
78.7
72.4
73.3
66.6
76.0
72.6
61.3
95.1
72.7
83.8
74.8
76.4
80.8
69.8
80.5
80.9
71.2
86.1
65.4
76.5
52.6
62.3
78.9
79.6
90.6
80.6
84.8
62.8
87.3
83.5
82.3
Вариант 4.
36.1
29.6
24.0
25.0
38.1
29.7
25.8
39.6
42.0
37.6
24.8
43.1
36.2
14.9
40.0
35.1
17.6
27.5
35.4
32.2
26.8
30.0
42.1
18.3
25.1
30.5
12.9
24.1
25.9
36.8
29.5
27.7
29.1
28.9
27.6
27.1
24.1
27.0
24.5
32.5
33.9
29.6
32.5
37.0
26.0
46.3
32.8
45.6
47.7
33.0
24.6
39.9
32.2
21.6
37.7
24.1
32.7
29.0
28.1
23.6
24.2
36.9
33.0
29.7
31.7
32.9
24.6
23.3
17.2
24.5
31.6
25.9
18.0
41.8
30.2
23.3
27.3
30.2
40.5
34.6
21.8
39.6
43.0
26.6
22.7
27.2
34.4
23.7
16.5
33.5
14.2
15.6
28.8
22.5
22.9
24.2
26.7
32.2
22.2
32.6
Вариант 5.
83.1
76.1
76.4
76.9
93.8
77.6
84.4
71.8
75.7
68.9
74.0
79.0
84.3
73.4
71.3
70.9
83.6
86.1
85.6
83.4
67.2
78.4
86.4
77.9
85.9
83.9
85.4
77.7
84.3
80.6
82.4
84.5
55.5
80.1
63.4
83.9
68.9
82.7
73.1
80.4
86.1
81.2
78.9
83.8
76.1
74.4
78.3
73.2
70.7
66.0
72.3
68.5
79.1
84.2
79.2
74.7
82.2
81.0
70.2
91.8
88.1
82.9
72.0
70.9
76.3
74.3
67.0
76.1
80.0
78.9
77.8
76.0
63.8
80.8
81.0
84.2
71.3
84.1
80.2
90.1
67.6
72.7
74.7
71.8
70.0
76.8
66.9
70.4
68.0
80.8
78.2
73.1
77.0
71.4
69.5
80.1
70.2
81.5
77.9
68.6
Вариант 6
48.9
53.8
59.0
49.5
60.6
58.8
45.0
56.0
59.9
52.3
42.0
59.3
50.3
50.5
44.4
49.7
52.8
59.4
56.4
41.4
59.4
70.1
54.7
41.0
62.6
49.1
38.9
47.6
49.3
50.7
57.3
58.5
53.9
40.4
45.1
52.2
49.0
61.1
52.2
58.0
46.6
60.5
57.8
68.2
46.8
49.2
45.5
46.5
50.7
51.7
56.0
61.8
58.4
63.1
49.2
45.2
52.3
41.2
55.3
67.8
56.2
39.9
66.5
58.1
65.3
63.7
55.5
51.9
50.1
53.8
58.7
60.2
64.6
51.7
61.7
27.2
55.5
59.9
51.8
51.3
49.4
58.9
43.2
53.1
65.3
49.4
58.7
52.5
47.1
46.1
44.3
58.2
46.7
57.4
62.3
44.3
38.8
59.0
56.0
55.0
Вариант 7
62.3
64.6
50.0
56.0
62.1
59.8
66.5
64.8
48.4
50.7
63.2
49.9
59.6
64.2
61.3
65.5
66.9
61.7
59.0
66.7
62.7
52.8
61.6
51.4
59.0
62.7
62.3
60.2
66.9
55.3
56.5
65.3
51.9
55.0
57.6
54.4
64.4
61.9
66.4
59.5
57.6
67.0
62.5
49.4
54.1
60.9
48.3
65.4
48.8
53.4
64.4
58.3
63.5
60.0
55.8
54.6
51.4
55.0
62.9
48.7
53.5
53.2
53.8
67.7
52.3
59.9
62.0
59.9
60.4
63.6
59.0
69.9
55.8
59.7
61.0
56.1
50.8
65.3
56.3
52.9
59.6
58.5
46.6
55.5
59.2
65.7
66.7
61.5
57.6
51.1
56.6
59.3
50.9
55.2
51.6
57.9
55.6
45.2
58.8
48.0
Вариант 8
75.2
77.1
71.0
74.4
77.5
74.5
73.8
73.6
74.0
79.0
78.7
79.1
75.6
73.8
80.6
75.7
69.6
76.3
76.4
82.5
69.3
72.8
83.3
76.0
75.2
75.4
76.3
73.5
80.6
70.9
75.9
70.0
73.1
80.5
75.3
77.0
87.0
72.2
69.6
73.1
63.9
82.6
75.7
75.8
85.0
74.5
80.5
79.1
74.0
77.5
75.1
69.8
75.6
71.1
78.3
81.4
72.0
76.7
77.8
77.7
71.3
76.0
76.1
74.6
78.0
76.8
75.1
77.1
78.8
68.5
74.4
77.3
76.0
71.5
72.0
75.3
71.9
78.1
74.9
80.4
72.9
64.5
73.4
76.8
74.5
64.7
78.2
67.8
76.7
74.3
64.1
82.1
65.5
69.4
73.4
74.6
70.4
77.1
70.8
75.3
Вариант 9
61.4
52.9
67.0
55.0
49.3
52.7
68.0
74.7
56.4
61.5
33.7
59.5
62.2
67.6
54.6
69.7
43.7
49.7
55.8
47.6
52.9
45.7
54.5
36.4
74.0
50.3
51.4
63.2
62.6
57.2
29.7
45.6
72.0
53.9
50.1
62.0
60.2
56.9
47.3
61.1
75.9
49.9
80.8
75.2
51.1
69.2
51.5
54.2
46.8
64.3
54.6
75.6
65.8
61.6
56.6
46.3
48.1
63.9
77.8
63.9
41.0
62.8
40.3
44.5
54.1
54.3
35.8
42.9
65.2
71.7
75.3
58.1
60.5
68.1
49.4
31.8
55.7
39.1
57.6
59.6
55.3
71.5
78.6
50.4
67.1
65.1
75.2
47.4
76.4
72.1
43.2
59.3
48.6
48.2
51.5
58.3
68.6
69.7
55.4
78.4
Вариант 10
59.7
13.5
17.0
45.3
46.0
45.0
49.3
31.7
46.3
36.4
43.2
35.5
36.5
22.5
34.6
46.3
30.4
19.8
52.7
40.9
44.7
32.5
29.1
31.7
28.9
37.2
33.9
34.4
37.8
34.7
50.6
60.8
46.9
26.0
28.7
55.5
44.3
55.5
21.6
17.9
45.7
33.7
48.5
39.3
56.9
45.2
21.5
35.0
37.8
51.7
36.7
45.3
36.8
49.5
39.8
46.7
50.0
19.0
41.6
29.0
44.3
43.7
27.0
36.7
19.2
27.4
37.4
38.5
43.5
41.7
39.4
44.1
31.8
43.8
44.5
50.2
21.0
26.7
37.7
32.3
50.9
37.3
14.7
47.8
37.6
39.2
47.7
42.0
41.0
13.2
21.3
31.1
28.8
31.5
58.3
49.9
39.9
47.4
21.2
32.9