ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

Определение 1. Зависимость двух случайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и

тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Пусть извлечена выборка объема п и исследуются два количественных признака X и У. Результаты измерений занесены в таблицу 6.

Таблица 6.

Выборочный коэффициент корреляции r_B находится по формуле:

r_B =

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [-1; 1]:

-1≤ r_B ≤1

2. Чем модуль r_B больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если | r_B| = 1, то между признаками функциональная связь.

4. Если r_B = 0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если r_B > 0, то между признаками прямая (положительная) связь и если r_B < 0, то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии У на X имеет вид:

= r_{B *} * (x –

где , - выборочные средние. За приближенные значения и принимают соответственно и s_x и s_y:

≈ s_x = , ≈ s_y =

Выборочное уравнение прямой регрессии X на У имеет вид:

x – = r_{B *} * / * (y –

Пример. Психологи провели тестирование среди пациентов психоневрологического диспансера. Возраст пациентов колебался от 14 до 34 лет. Затем была проведена случайная выборка объёмом n=10. Была поставлена задача: определить есть ли зависимость возраста испытуемого (Y) от значения показателя развития заболевания (X). Результаты этого измерения представлены в таблице 7:

Таблица 7.

Требуется вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии У на X.

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

r_B =

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу 8, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются

Разности x_i – и , их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности x_i – и будут всегда равны нулю.

Таблица 8.

xi	yi	xi –				*
		-45		-9
		-35		-5
		-25		-4
		- 15		-3
		-5

Находим средние и (смотри данные в таблице, 1-2 столбцы):

= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3-7 столбцы), получаем:

* =1520,

= 8250

= 298

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

r_B =

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная (т.к. значение r_B близко к 1) положительная (т.к. r_B >0) корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии У на X.

= r_{B *} * (x – ,

Где ≈ s_y = ,

≈ s_x =

Следовательно, ≈

Тогда = ≈ = 0,19

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии У на X: = 70, = 23, r_B =0,97, _y/ =0,19, получим

.у - 23 = 0,97 • 0,19 • (х - 70)

или

y-23 = 0,18x —12,6.

Окончательно, получаем

y= 0,18x + 10,4

искомое уравнение прямой регрессии У на X.