Исследование поперечных колебаний струны

Для определения поперечных колебаний смоделируем тягу струной.

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При этом перенос энергии происходит без переноса вещества, т.е. частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение, а совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В поперечной волне частицы совершают колебания в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний, а в продольных волнах – вдоль направления распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. К ним, в частности, относятся поперечные колебания струны.

Составим уравнение колебаний струны, натянутой между двумя точками её закрепления, при условии, что амплитуда отклонений струны от положения равновесия настолько мала, что длину струны() можно считать постоянной, а натяжение струны – неизменным по всей длине струны и не зависящим от времени.

Рассмотрим отрезок (рис. 2) колеблющейся однородной струны, точки закрепления которой находятся на оси . Пусть в некоторый момент времени на струну было оказано воздействие, приведшее к смещению отрезка из положения равновесия (вдоль оси ) в направлении оси .

Смещения струны вдоль оси

Так как в исходном положении струна была натянута, то к концам отрезка будут приложены равные силы натяжения , образующие с направлением углы . В интересах наглядности изображения на (рис. 2) использован укрупненный масштаб при изображении смещения струны вдоль оси .Поэтому при дальнейших расчетах следует иметь ввиду, во-первых, что на (рис. 2) изображен только некоторый произвольно выбранный отрезок струны и,

во-вторых, что смещение вдоль оси существенно меньше длины струны, а углы настолько малы, что с большой точностью соблюдаются приближенные соотношения:

, . (3)

Проекции сил на ось , с учетом соотношений (3), соответственно равны:

(4)

Алгебраическая сумма проекций сил, описываемых соотношениями (4), является силой, возвращающей отрезок в положение равновесия. При этом рассматриваемая часть струны (рис. 2) будет последовательно принимать положения 1,2,3 и т.д., пока колебания не прекратятся и струна не займет устойчивое положение вдоль оси .

На основании второго закона Ньютона результирующая сила, действующая на отрезок , равна произведению его массы на ускорение , сообщаемое отрезку возвращающей силой:

. (5)

Разделив правую и левую части соотношения (5) на , при значениях получим:

, или

, (6)

где ; – линейная плотность струны

Соотношения типа (6) называются волновыми уравнениями, решение которых можно искать в следующем виде:

. (7)

Подставляя соотношение (7) в формулу (6), получим:

. (8)

Уравнение (8) записано в обыкновенных производных, т.к. и зависят только от и соответственно. Так как и – независимые переменные, то равенство (8) может соблюдаться во всем диапазоне их измерений, если обе части соотношения (8) являются некоторой постоянной величиной, которую обозначим . После проведения очевидных преобразований соотношение (8) может быть записано в следующей форме:

. (9)

Соотношение (7) позволяет составить следующие уравнения:

(10)

Решения дифференциальных уравнений (10) имеют вид:

, .

Следовательно, решение (7) волнового уравнения (6) имеет вид:

, (11)

где – амплитудные значения колебаний, формирующихся в точке с координатой в результате сложения волн, распространяющихся вдоль струны за счет действия возмущающей силы и отраженных от точек закрепления оконечных участков струны. Возникающий в результате колебательный процесс (11) называется стоячей волной. Точки, в которых , называются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна – пучностями стоячей волны. Следует иметь в виду, что и пучность, и узел представляют собой не точки, а плоскости, удовлетворяющие указанным условиям. Расстояние между соседними пучностями (также как и между соседними узлами) равно половине длины волны . Соседние узел и пучность сдвинуты на .

Для нахождения неопределенной постоянной в уравнении (11) воспользуемся очевидными граничными условиями, обусловленными тем, что в точках закрепления струны амплитуда равна нулю:

. (12)

Следовательно,

или , (13)

где =1,2,3... – определяет число пучностей.

Введем для формулы (11) следующие обозначения:

, (14)

где ;

– циклическая частота колебаний;

– частота колебаний.

С учётом соотношений (6), (13) и (14) имеем:

. (15)

При установившейся стоячей волне вся длина струны содержит целое число полуволн, т.к. в конечных точках струны согласно (12) . Таким образом, и, соответственно: . (16)

Так как скорость распространения колебаний:

, (17)

то с учетом формул (15) и (16) имеем:

. (18)

В равенстве (18) можно перейти от линейной к объемной плоскости струны :

, (19)

где – диаметр струны.

При этом соотношение (15) можно записать в виде:

. (20)

Частота, соответствующая =1, называется основной , а частоты, соответствующие >1 – собственными или нормальными частотами. Их также называют гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение гармоник.