В.– Предельные теоремы теории вероятностей
Предельные теоремы ТВ устанавливают связь между случайностью и закономерностью.
Их можно разбить на 2 группы:
-закон больших чисел и
-центральная предельная теорема
К 1 группе относят теоремы, в которых устанавливается, что конкретные особенности СВ не сказываются на их среднем значении(средние значения рез-в испытаний стремятся к некоторым постоянным числам).
Лемма Чебышева:
Пусть СВ (Х) имеет конечные мат.ожидание и дисперсию, тогда для любого положительного числа Ɛ выполняется
P (| Х-а | ≤ Ɛ) ≥ 1- D(x) / Ɛ2
Теорема Чебышева:
Пусть независимые СВ х1,х2,…,хn имеют дисперсии не превосходящие некоторого постоянного числа, тогда для любого сколь угодно малого положительного числа Е выполняется следующее предельное равенство
lim P (| Ʃ хi / n – Ʃ M(Xi) / n | ≤Ɛ) =1
n→∞
В теореме Чебышева предполагалось, что СВ имеют различные математические ожидания, однако на практике зачастую математические ожидания СВ равны:
Предположим, что М(х1)=М(х2)=…=М(хn)=а,
тогда
n
Ʃ М(хi) / n = Ʃ a / n = n*a /n =a
i=1
т.о. получаем частный случай теоремы Чебышева
Практические применения:
По рез-м наблюдений с помощью среднего знач-я можно оценить неизвестную величину М(Х)
lim P (| Ʃ xi / n – a | ≤ Ɛ) = 1
Теорема Бернулли:
Пусть проводится n-независимых испытаний
Вероятность появления соб. А в каждом из кот-х постоянна и равна р т.е Р(А)= р
Его не появление Р(Ᾱ) = а,тогда для любого сколь угодно малого положит-го числа Ɛ выполняется следующее предельное равенство
lim P (| m/n – p | ≤ Ɛ) =1
n→∞
где m/n – отн-я частота появления соб.А
Центральная предельная теорема
Группа теорем, выявляющих связь между законами распределения суммы конечного числа СВ и предельной формой закона их распределения. Нормальный закон распределения считается одним из наиболее распространенных,поэтому большинство теорем посвящено именно ему.
ЦПТ (центральная предельная теорема Ляпунова) – сумма конечного числа СВ имеет нормальный закон распределения, если выполняются следующие усл-я:
1) эти СВ имеют конечные М(Х) и D(Х)
2) не одна из СВ сильно не отличается по значению от остальных т.е. вносит ничтожно малый вклад в общую сумму.
В.-Задачи математической статистики
В отличие от ТВ МС заним-ся не изучением СВ и их законов распределения, а нахождением приближенных методов для оценки законов распред-я и их числовых характеристик.
Задачей по мат.статистике явл-ся сбор, обработка и анализ исходных данных, полученных экспериментальным путем.
В. - Виды вариационных рядов. Графическое изображение вариационного ряда.
Пусть исследуемая сов-ть рассматриваемая относительно некоторого признака Х
Под вариацией понимают различия в значениях признака у единиц рассматриваемой сов-ти.
Исходная инф-я представляется в виде вариационных рядов
Выделяют 3 вида вариац-х рядов:
1)ранжированный
2)дискретный
3)интервальный
Ранжированным рядом наз-т последовательность зн-й признака, записанную в возрастающем или убывающем порядке.
Пусть Х- рост студентов
1,52; 1,55
Если среди значений признака встреч-ся одинаковые, то переходят к рассмот-ю дискретного вариационного ряда – таблицу, состоящую из 2-х строк:
1 строка - индивидуальные зн-я признака хi
2 строка – соответсвующие им частоты fi (fi – число единиц сов-ти, обладающих зн-м признака хi)
При очень большом числе единиц рассматриваемой сов-ти и,как следствие, большом разнообразии знач-й признака, имеет смысл использовать интервальный вариационный ряд – таблица, состоящая из 2-х строк:
1 строка- интервал знач-й признака Х
2 строка – соответствующие им частоты fi
При построении интервального ряда число интервалов должно быть не слишком большим.
Переход к интервальному ряду должен быть оправдан действит-м снижением трудоемкости последующего анализа и более компактной записью исходной инф-и (и не слишком маленьким) чтобы сохранить пропорции и разнообразие знач-й признака.
Для определения числа интервалов используют формулу Стержесса
k=1,44 * ln n +1,где k-число интервалов
n-число единиц, исследуемой сов-ти
далее определяют шаг (длину)интервала
h=xmax-xmin/ k
Графическое изображение вариационных рядов
1) Гистограмма - использ-ся для изображения интервального ряда.
Она представляет собой столбиковую диаграмму(осн-е столбиков – это интервалы знач-й признака, а высоты- это соответствующие им частоты)
Ʃ fi =n
Полигон - используют для изображения дискретного вариационного ряда. Полигон представляет собой ломанную, соединяющую точки с координатами xi fi
С помощью полигона можно изобразить также и интервальный ряд. При этом в качестве xi используют середины интервала.
Для изображения вариационных рядов используют также кумуляту – это кривая накопленных частот- линия, соединяющая точки с координатами (xi,f накi )
f накi - накопленная частота
f накi = Ʃ fj
j≤ i
f нак1 = f1
f нак2 = f1 +f2
f нак3 = f1+f2+f3
Последняя накоплен-я частота в сумме равна будет n. Для более удобного виз-го восприятия необходимо соотнош-я высоты и длины графика должно быть 5:8