Метод полного факторного эксперимента

В методе полного факторного эксперимента (ПФЭ) ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени.

Коэффициенты искомого уравнения определяют на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов b, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим со- ответствующие выборочные оценки.

Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание процесса в виде уравнения

y = b 0+ b 1 X 1+ b 2 X 2 +K+ bnXn + b 12 X 1 X 2 +K+ b (n -1) nXn -1 Xn. (4)

Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами регрессии.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации верхнего и нижнего уровней факторов.

В таблице 1 приведены условия проведения опытов полного двухфакторного эксперимента. Часть таблицы, обведенная пунктиром, называется матрицей планирования.

Таблица 1

Полный двухфакторный эксперимент

 

Номер опыта	Факторы	Функция отклика
X 1	X 2
			yэ
	-1	-1
		+1	-1		yэ
		-1	+1		yэ
		+1	+1		yэ

 

Опыты, приведенные в табл. 1, соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат (рис. 3).

В таблице 2 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат.

Из этих таблиц видны основные принципы построения матрицы планирования ПФЭ:

· уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;

·частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем в предыдущем.

 

 

Рис. 3. Опыты полного двухфакторного эксперимента

 

Таблица 2

Полный трехфакторный эксперимент

 

Номер опыта	Факторы	Функция отклика
X 1	X 2	X 3
	-1	-1	-1	yэ
	+1	-1	-1	yэ
	-1	+1	-1	yэ
	+1	+1	-1	yэ
	-1	-1	+1	yэ
	+1	-1	+1	yэ
	-1	+1	+1	yэ
	+1	+1	+1	yэ

 

Матрица планирования полного факторного эксперимента обладает следующими свойствами:

N

1. å

j =1

X ji = 0; (5)

N

X

ji

2. å

j =1

2 = N; (6)

 

N

3. å

j =1

X jlX jm = 0, (7)

где l ¹ m, N – число опытов; j – номер опыта; i, l, m – номера факторов.

Свойство, выраженное уравнением (7), называется ортогональностью. Поэтому говорят, что матрица полного факторного эксперимента ортогональна. Это свойство позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.

Общее количество опытов в матрице планирования

N = 2 ⁿ, (8)

где n – число факторов.

На основании ПФЭ вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь следующими формулами:

b 0 = N

N

å y j;

j =1

 

bi = N

N

å X

j =1

ji yj;

 

(9)

blm = N

N

å X

j =1

 

jl X

jmyj

где l ¹ m.

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру (для расчетов используются соответствующие вектор-столбцы).

Так, для полного двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид

y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 12 X 1 X 2. (10)

По таблице 1 находим коэффициенты:

 

b = yэ + yэ + yэ + yэ,

0 1 2 3 4

b = (-1) yэ + (+1) yэ + (-1) yэ + (+1) yэ,

1 1 2 3 4

b = (-1) yэ + (-1) yэ + (+1) yэ + (+1) yэ,

2 1 2 3 4

b = (-1)(-1) yэ + (+1)(-1) yэ + (-1)(+1) yэ + (+1)(+1) yэ.

12 1 2 3 4

Значения коэффициентов указывают на силу влияния факторов на функцию цели.

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Для установления факта незначимости коэффициента необходимо вычислить оценки дисперсии, с которой они определялись:

(11)

 

 

где , где k – число параллельных опытов

	S

С оценками дисперсий

воспр и

S ² связывают число степеней свободы:

в

fвоспр = N (k -1). (12)

Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие

в ³ S_в × t _{a ,n}

, (13)

где

t a ,n – значение критерия Стьюдента, которое находят по таблицам.

Здесь индекс - заданная доверительная вероятность;

n = fвоспр = N (k - 1).

В противном случае коэффициент незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии.

Далее следует проверить адекватность полученного уравнения регрессии.

Под адекватностью в данном случае понимают способность построенной математической модели соответствовать результатам эксперимента с заданной степенью точности. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера

 

(14)

где - оценка дисперсии адекватности,

(15)

y^э, y ^p - экспериментальные и расчетные значения функции отклика в j -ом опыте; N - число опытов ПФЭ; n - число факторов; k - число параллельных опытов.

С дисперсией адекватности (15) связывают число степеней свободы:

fад = N - (n + 1). (16)

 

По таблицам для критерия Фишера, зная f_воспр и f_ад, определяют табличное значение F_T

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

F _p < или = F _T

 

Функция цели y найдена для кодированных факторов, чтобы перейти к реальным факторам, достаточно сделать подстановку: