Повторные независимые испытания.
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа m наступлений некоторого события А в n испытаниях. Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли (Якоб Бернулли швейцарский математик 1654 – 1705).
Формула Бернулли.
Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность 
того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна
, где q =1- p
Следствия:
1. 
(вероятность того, что событие А не произойдет ни разу).
2. 
(вероятность того, что событие А произойдет n раз).
3. 
(вероятность того, что событие А произойдет только один раз).
4. 
(вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз).
Наивероятнейшее число
Число 
наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если 
по крайней мере не меньше вероятности других событий 
при любом m, то есть 
. Можно показать, что: 
Пример: Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа.
Пусть событие А - изготовление бракованной детали. P(A) =1-0,8=0,2= p, q =0,8, n =5
5∙0,2-0,8≤ 
5∙0,2+0,2 0,2≤ 1,2 => 
Замечание: Если m и n велики, p мало, то вычисление по формуле Бернулли будет затруднительно. В этом случае применяют приближенные, так называемые асимптотические формулы.
Формула Пуассона.
(Пуассон Симеон Дени французский математик 1781-1840)
Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p →0) при неограниченном увеличении числа испытаний (n →∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np→λ), то вероятность 
того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, приближенно равна:
, где λ=np
Функция 
- функция Пуассона. Для нахождения значений этой функции существуют специальные таблицы для различных m и λ.
Замечание: формула Пуассона применяется, когда npq≤10.
Пример:
На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1сентября является днем рождения четверых студентов?
n =1825, m =4, p = 
, λ = np =1825∙ 
Применим приближенную формулу Пуассона:
0.1755 (нашли по таблице)
Локальная формула Муавра – Лапласа.
(Муавр Абрахам де английский математик, француз по национальности, 1667-1754; Лаплас Пьер Симон французский математик 1749-1827; формулы получены Муавром в 1718г. для p = q = 
, общий случай рассмотрен Лапласом в 1812г.)
Если m и n велики, но число m-np ограничено, npq ≥10, то применяем приближенную формулу для вычисления вероятности появления события А m раз в n независимых испытаниях:
,
где 
Для упрощения расчетов составлена таблица значений функции 
. Пользуясь этой таблицей, необходимо учитывать свойства функции 
1) 
- четная функция 
= 
;
2) 
.
Пример:
Имеется партия резисторов из 10000 штук. Какова вероятность того, что в этой партии бракованных резисторов 20 штук, если вероятность брака 0,001.
n =10000, m =20, p =0,001, q =1- p =0,999
Замечание:
Иногда требуется найти вероятность наступления события А в n испытаниях от 
до 
раз. Если разность 
не велика, то можно воспользоваться предыдущими формулами и применить теорему сложения.
Если разность значительная, то указанные формулы приводят к затруднительному решению. В этом случае используют интегральную формулу Муавра – Лапласа.