Расчёт интеграла для непрерывной функции с помощью системы Mathcad




Задание

Выполнить вручную расчёт определённого интеграла для дискретно заданной функции по методу трапеций и по методу Симпсона, определить точность полученных результатов. Исходные данные представлены в таблице:

Таблица 1

xi Y10
   
0.25  
0.5  
0.75  
   

 

Рассчитать при помощи системы Mathcad по методу трапеций и по методу Симпсона значение определённого интеграла для непрерывной функции при следующих значениях шага: . Сравнить результаты приближённых расчётов с точным значением интеграла.


 

Теоретические сведения

Задача приближенного интегрирования возникает для сложных аналитических функций или функций, заданных дискретными данными.методы численного интегрирования основаны на аппроксимации определенного интеграла суммой составных площадей.

Численное интегрирование в отличие от численного дифференцирования является устойчивой процедурой и имеет тенденцию снижения влияния погрешности исходных данных на конечный результат. В общем виде задача состоит в нахождении величины:

(1)

Определённый интеграл (1) численно равен площади под графиком функции . Если промежуток [а,b] разделить на конечное число участков с шагом h, то задача (9.1) сводится к решению большого числа более простых задач.

(2)

Для нахождения площади фигуры на шаге h будем аппроксимировать подынтегральную функцию. Если часть подинтегральной функции на шаге h аппроксимировать прямой линией, то площадь элементарного участка равна площади трапеции, а интеграл рассчитывается по формуле

(3)

Формулу (3) называют формулой трапеций.

Её точность (4)

где - среднее значение второй производной в интервале интегрирования. Точность метода трапеций пропорциональна квадрату шага h.

Если подынтегральную функцию аппроксимировать полиномом второго порядка (параболой), то можно получить, что (5)

Формулу (5) называют формулой Симпсона.

Её точность

(6)

где - среднее значение четвертой производной в интервале интегрирования. Точность метода Симпсона пропорциональна четвертой степени шага.


 

Расчёт определённого интеграла для дискретно заданной функции

Исходные данные представлены в таблице 1.

Метод трапеций.

Определим точность расчёта для шага разбиения h=0.25. Представим исходную функцию в виде таблицы соответствующих значений xi и yi и соответствующих им конечных разностей.

Таблица 2

xi yi Δyi Δ2yi Δ3yi Δ4yi
           
0.25         -
0.5       - -
0.75     - - -
    - - - -

 

Найдём из таблицы 2 среднее значение второй конечной разности и рассчитаем производную второго порядка:

Рассчитаем точность по формуле (4):

Рассчитаем интеграл по формуле (3):

Метод Симпсона.

Определим точность расчёта для шага разбиения h=0.25. Из таблицы 2 видно, что четвёртая конечная разность равна нулю, следовательно, точность расчёта, которая определяется по формуле (6), в данном случае равна нулю.

Рассчитаем интеграл по формуле (5):


 

Расчёт интеграла для непрерывной функции с помощью системы Mathcad

Исходная функция:

1. Прямое вычисление интеграла.

 

 

2. Расчет интеграла по методу трапеций для следующих значений шага: .

Используем для этого подпрограмму:

 

 

 


 

Рассчитаем относительную погрешность вычислений и её зависимость от шага.

 

Рисунок 1. График зависимости относительной погрешности от шага в десятичных логарифмах.

 

3. Расчёт интеграла по методу Симпсона для следующих значений шага: .

Используем для этого подпрограмму:

 

 

 


 

Рассчитаем относительную погрешность вычислений и её зависимость от шага.

 

 

Рисунок 2. График зависимости относительной погрешности от шага в десятичных логарифмах.

 

Вывод: В методе трапеций погрешность вычислений убывает с уменьшением шага. Но в методе Симпсона график зависимости относительной погрешности имеет точку минимума при шаге , следовательно, по методу Симпсона минимальная погрешность достигается при . В нашем случае минимальная относительная погрешность .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-01-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: