Постановка задачи.
Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида
(1.1)
где F(x) данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция F(x) задана формулой, то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
(1.2)
Также для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла (1.1) существует много численных методов, из которых рассмотрим три основных:
1) метод прямоугольников;
2) метод трапеций;
3) метод Симпсона.
При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если 
на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y = F(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1).
Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
 |
Рис. 1.1.
Численные методы, применяемые при вычислении интеграла
Метод прямоугольников.
Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка 
. Точки деления будут: x 0=a; x 1=a+h; x 2=a+2×h,...,
x n-1=a+(n-1)×h; x n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции F(x) в узлах, обозначим их y 0, y 1, y 2,..., y n. Cтало быть, y 0=f(a), y 1=f(x 1), y 2=f(x 2),..., y n=f(b). Числа y 0, y 1, y 2,..., y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0, x 1, x 2,..., x n (рис. 1.2). Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Формула (1.3) называется формулой левых прямоугольников, (1.4) - формулой правых прямоугольников, (1.5) - формулой средних прямоугольников.
 |
Рис. 1.2.
Метод трапеций.
Формула трапеций:
(1.6)
Формула (1.6) означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 1.3); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.
Рис 1.3.
Метод Симпсона.
Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.
Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на 2×n равных частей длины 
. Обозначим точки разбиения x 0=a; x 1= x 0+h,..., x i= x 0+i×h,..., x 2n=b. Значения функции f в точках x i обозначим y i, т.е. y i=f(x i). Тогда согласно методу Симпсона
(1.7)
Каждая из формул (1.3) – (1.7), как правило, дает результат тем точнее, чем больше n. Из всех приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона, наименее точной - формулы прямоугольников.
Особенности интегрирования в MATHCAD
Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7> (или символа "&"). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями, в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.
Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести минус бесконечность, добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.
Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором — в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора Mathcad (листинг 1).
Листинг.1. Численное и символьное вычисление определенного интеграла
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ