Интегрирование ФКП
- криволинейный интеграл от функции 
по кривой 
Теорема. Если функция непрерывна на кривой , то 
существует.
Вычисление интеграла от функции комплексного переменного 
сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов:
(1)
Основные свойства
1. 
, где 
2. 
3. 
, где 
- кривая, совпадающая с , но проходимая в противоположном направлении
4. (Теорема об оценке). Если 
на , 
- длина , то 
.
Если кривая задана параметрически: 
,
то 
(2)
или, используя формулу (1)
.
Замечание: , вообще говоря, зависит от линии интегрирования.
Если функция является аналитической в односвязной области 
, т.е. для этой функции выполняются условия Коши-Римана 
, которые являются условиями независимости криволинейных интегралов в формуле (1) от линии интегрирования, то в этом случае имеет место формула Ньютона-Лейбница
, (3)
где 
- какая-либо первообразная для функции , т.е. 
в области , и точки 
.
Теорема Коши
- одна из основных теорем ТФКП.
Теорема Коши 1. Если функция аналитична в односвязной области , то для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой , лежащей в этой области, интеграл от вдоль равен нулю:
. (4)
Для замкнутой области 
эта теорема формулируется так:
Теорема Коши 2. Если функция аналитична в замкнутой односвязной области , то интеграл от этой функции по контуру , ограничивающему область , равен нулю: .
Следствие 1. Если функция аналитична в односвязной области , то для всех кусочно-гладких кривых, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и тоже значение 
.
Замечание: В теореме Коши (1) предполагается, что область , в которой лежит контур интегрирования, односвязна. Это требование существенно, без него эта теорема перестает быть справедливой.
В случае многосвязной области теорема Коши справедлива в следующем виде:
Теорема Коши 3. Если функция аналитична в замкнутой многосвязной области , ограниченной контурами 
, то интеграл, взятый по всей границе этой области и проходимый так, чтобы область все время оставалась с одной стороны, равен нулю:
(5)
Следствие 2. Если функция аналитична в замкнутой многосвязной области , ограниченной кривыми , то интеграл от этой функции по внешнему контуру равен сумме интегралов по всем внутренним контурам при условии, что обход всех контуров совершается в одном направлении (либо по часовой, либо против часовой стрелки): 
.
Интегральная формула Коши
Пусть - аналитическая функция в области и - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в вместе с областью 
, которую она ограничивает.
Тогда для каждой точки 
справедлива интегральная формула Коши:
, (6)
т.е. значение функции в любой точке 
области можно вычислить, зная только значения на границе этой области, где граница обходится в положительном направлении.
Интеграл в правой части формулы (6) называется интегралом Коши для функции .
С помощью этой формулы можно вычислять некоторые интегралы по замкнутым контурам: 
.
Замечание: Если функция аналитична в многосвязной области, то формула (6) остается справедливой, если вместо контура взять полную границу этой области. Так, если аналитична в кольце 
, ограниченном окружностями 
и 
, то 
для всех 
. Направление на контурах и выбрано так, чтобы область при обходе оставалась слева.