Численное интерполирование и интегрирование.
Постановка задачи численного интерполирования. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Погрешность интерполирования. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы трапеции, общая формула трапеции. Формула остаточного члена.
Численное интерполирование
Постановка задачи. Часто возникают задачи, связанные с заменой одной функции на другую более простого вида, но близкую к исходной по некоторым свойствам. Пусть имеем 
. Необходимо подобрать такую функцию 
, чтобы 
. Часто рассматривают как комбинацию простых функций, называемых основной системой функций: 
. Обобщенный полином (многочлен), построенный по основной системе функций, имеет вид: 
. Задача аппроксимации состоит в том, чтобы с помощью обобщенных полиномов 
приблизить исходную функцию 
максимально близко, чтобы 
Если вместо 
взять полиномы 
, т.е. основная система функций будет следующей 
, то такая задача называется интерполяцией – это приближение функции многочленами. Задача интерполирования – построение такого многочлена 
, который бы в узлах интерполирования совпадал со значениями функции , т.е. 
.
Существует несколько видов интерполяционных многочленов (Лагранжа, Ньютона, Чебышева, Лежандра и т.д.)
Многочлен Лагранжа
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Погрешность многочлена Лагранжа
Оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы 
в любой точке 
можно с помощью неравенства 
, где 
, 
Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Разделенной разностью k-го порядка по узлам называется формула вида:
|
|
Сам же многочлен Ньютона имеет вид:
(1)
Формула (1) является 1-ой формулой многочлена Ньютона для интерполирования в начале таблицы, т.е. здесь 
должно быть близко к 
.
При построении интерполяционной формулы Ньютона не учитываются никакие условия на расположение и нумерацию узлов интерполирования. Это означает, что нумеровать узлы можно произвольным образом и, как частный случай, нумеровать их в порядке убывания.
Тогда вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:
Интерполяционный процесс сходится равномерно, если: 
=0
Теорема Фабера о сходимости интерполяционного процесса: какой бы ни была последовательность сеток 
найдется такая непрерывная функция f(x) на [a,b], для которой интерполяционный процесс не сходится равномерно на [a,b].
Теорема говорит о том, что универсальной системы сеток нет, для которой многочлен Лагранжа всегда бы сходился к функции 
равномерно.
Теорема Марцинкевича: для любой непрерывной функции f(x) на [a,b] можно построить такую последовательность сеток, на которой интерполяционный процесс сходится равномерно к f(x).
Из теоремы Фабера следует, что нет равномерной сходимости при интерполировании многочленов, поэтому на практике часто применяют кусочно-полиномиальные функции, называемые сплайнами.
Обычно применяют параболические, кубические, линейные сплайны.
Интерполирование широко используется при интегрировании.