Работа, энергия. Законы сохранения

3.1. 1.177. Шарик массой надо медленно поднять на высоту Н за пружинку жёсткостью . Какую работу надо при этом совершить?

Ответ. A=k (D x)² /2+ mgH, где D х = F _упр/ k = mg / k – деформация пружины.

3.2. 1.180. Бегун на старте достигает скорости 10 м/с за 4 с. Найти среднюю мощность, развиваемую бегуном на старте, если его масса 80 кг.

Ответ. 1 кВт.

3.3. 1.197. Шарик бросили вертикально вверх со скоростью υ₀=20 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной?

Ответ. 10 м.

3.4. 1.198. Шарик бросили под углом к горизонту. Найти отношение потенциальной энергии к кинетической в верхней точке его траектории.

Ответ. W _п/ W _к=tg² a.

3.5. 1.199. Шарик бросили с земли со скоростью под углом α к горизонту. Определить его скорость на высоте h.

Ответ. υ = ; скорость υ от угла a не зависит.

3.6. 1.200. С одинаковой высоты бросили 4 шарика: первый просто отпустили, а начальные скорости других показаны на рисунке (они отличаются только по направлению). Определить соотношения равенства или неравенства между модулями скоростей шариков у поверхности земли.

3.7. 1.201. Два шарика летят навстречу друг другу по оси х и происходит их прямой удар. Массы шариков =1 кг, =2 кг, а их скорости =1 м/с (вправо), υ₂=2 м/с (влево). Определить: а) скорость шаров u_x после их абсолютно неупругого удара; б) скорости шаров u _{1 x} и u _{2 x} после их абсолютно упругого удара.

Ответ. u=– 1 м/с; u ₁ =– 3 м/с, u ₂ = 0.

3.8. 1.203. Два человека массами m ₁=60 кг и m ₂=80 кг отталкиваются друг от друга на льду. Один из них проехал до полной остановки путь s ₁=16 м. Сколько проедет другой, если их коэффициенты трения о лед постоянны и одинаковы?

Ответ. 9 м.

3.9. 1.207. Один шар неподвижен, а другой налетает на него. После прямого абсолютно упругого удара шары разлетаются в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти отношение масс шаров.

Ответ. 3.

3.10. 1.209. Пуля массой =4 г, летящая горизонтально, попадает в шар массой М =800 г, висящий на нити длиной =90 см, и застревает в нём. Шар отклонился на угол . Вычислить скорость пули υ₀.

Ответ. 600 м/с.

3.11. 1.210. Пуля массой =4 г, летящая горизонтально, пробила висящий на нити шар массой М =400 г, и он отклонился на угол α=60°. Длина нити l =0,9 м, входная скорость пули υ₁=600 м/с. Вычислить выходную скорость пули υ₂.

Ответ. 300 м/с.

3.12. 1.216. Ведро с водой вращается в вертикальной плоскости на верёвке длиной м. Определить: а) минимальную скорость ведра в верхней точке траектории; б) соответствующую скорость ведра в нижней точке; в) натяжение веревки внизу, если масса ведра с водой кг.

Ответ. , , Н.

3.13. 1.221. Шарик массой подвешен на нити, способной выдержать вес 2 mg. На какой угол надо отклонить шарик, чтобы он оборвал нить, проходя через нижнее положение?

Ответ. 60°.

3.14. 1.232. Частица соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки, плавно переходящей в круглый гладкий жёлоб радиусом (см. рис.). Определить минимальную высоту горки , при которой частица пройдет по всему жёлобу, не оторвавшись от него.

Ответ. h =2,5 R.

3.15. 1.234. Частица соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой , имеющей горизонтальный трамплин (см. рис.). При какой высоте трамплина частица пролетит максимальное расстояние и чему оно равно?

Ответ. h = Н /2, s = H.

Вращение твёрдого тела

4.1. Две гири массами m ₁=1 кг и m ₂=2 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой М = 3 кг. Найти ускорение гирь и силу натяжения нити. Трения в блоке нет.

4.2. На дисковый блок массой М =2 кг намотана нить, к концу которой привязан груз массой m =1 кг. Найти ускорения груза и силу натяжения нити.

Ответ. , .

4.3. С горки высотой h скатывается без проскальзывания шарик. Найти его скорость в конце горки. Обгонит ли он шайбу, соскальзывающую с той же горки без трения, если стартовали они одновременно?

Ответ. υ= .

4.4. Вертикальный столб высотой h = 3 м начинает падать из вертикального положения. Найти скорость υ его конца у земли. Проскальзывания нет.

Ответ. υ= =9 м/с.

4.5. Горизонтальная платформа массой М, радиусом R вращается со скоростью ω₁. На краю её стоит человек массой m. С какой скоростью ω₂ будет вращаться платформа, когда человек переползёт к её центру? Какую работу А при этом совершит человек?

Ответ.

4.6. Найти центр масс сплошного конуса.

Ответ. На 1/4 его высоты от основания.

4.7. Найти момент инерции сплошного конуса.

Ответ. I = 3 mh ³/(10 R).

4.8. Найти момент инерции квадратной пластинки относительно перпендикулярной оси, проходящей через её центр.

Ответ. I=ma ²/6.

Колебания

5.1. 1.395. Точка колеблется по синусоидальному закону. Амплитуда колебаний равна X, а максимальная скорость – V. Вычислить период T.

Ответ. h = H /2, s = H.

5.2. 1.396. Точка колеблется по синусоидальному закону с амплитудой X. Максимальная возвращающая сила равна F. Определить полную энергию E колебательной системы. Ответ.

5.3. 1.397. Шарик колеблется на пружине по синусоидальному закону. При какой фазе колебаний его потенциальная энергия равна кинетической? Определить смещение x шарика в этот момент, если амплитуда равна X, а начальная фаза – нулю.

Ответ. ; .

5.4. 1.398. Шарик колеблется на пружине по синусоидальному закону x=X sinw t. Найти отношение его кинетической энергии к потенциальной в момент, когда x=X/ 2. Сравнить интервалы времени t₁ и t₂ прохождения шариком первой (от 0 до X /2) и второй (от X /2 до X) половин амплитуды.

Ответ. ;

5.5. 1.399. Подвешенный груз растягивает легкую пружинку на D l =10 см. Вычислить период колебаний груза на этой пружинке.

Ответ. 0,63 с.

5.6. 1.400. Горизонтальная подставка совершает вертикальные синусоидальные колебания с амплитудой X. При какой частоте w лежащий на подставке камень начинает отрываться от нее?

Ответ. При .

5.7. 1.410*. Сравнить ускорения математического маятника при малых ко­лебаниях в нижней и верхней точках траектории. Где оно больше и во сколько раз?

Ответ. а _верх> а _ниж; а _верх/ а _ниж= l / X, где l – длина, Х – амплитуда колебаний.

5.8. 1.414. Пуля массой m попадает в брусок массой M >> m, лежащий на гладком столе и связанный со стеной пружиной жёсткостью k, и застревает в нём (см. рис.). Брусок начинает колебаться с амплитудой Х. Найти скорость пули.

Ответ.

5.9. Найти период колебаний обруча, который качается на вбитом в стенку гвозде в своей плоскости. Радиус обруча R = 30 см.

5.10. Найти период колебаний стержня длиной l = 1 м, шарнирно закреплённого в его конце.

5.11. На каком расстоянии х от центра стержня длинной l находится ось качания О, период колебаний относительно которой такой же, как и относительно конца стержня?

Ответ. х = l /6; Т =2π .

5.12. Амплитуда колебаний маятника за одну минуту уменьшилась в два раза. Во сколько раз она уменьшится за три минуты?

5.13. 8.2. Шарик на пружинке оттянули и отпустили. Через какую долю периода кинетическая энергия шарика: а) сравняется с упругой энергией пружинки; б) составит треть энергии пружинки?

Ответ. а) Δ t = Т/ 8; б) Δ t = Т/ 12.

5.14. 8.16. Когда сыр небрежно бросили на чашку торговых пружинных весов, стрелка, качаясь с затуханием около равновесия, показала в трёх последовательных крайних отклонениях 600, 300 и 500 г. Определить массу сыра, полагая затухание весов достаточно слабым.

Ответ. m =420 г.