Функция распределения вероятностей и ее свойства. Независимость случайных величин; критерий их независимости.
Для одномерной С.В. Х.
Функция распределения – числовая функция F(x), определенная на всей числовой прямой и принимающая значение: F(x)=P(X<x). Свойства
1. F(
)= 
, F(+ 
)= 
F(
)=P(X< )=P(
)=0
F(+ )=P(X<+ )=P(Ω)=1
2. F(x) неубывает по x, т.е. для 
,F(
) 
P(
)=P(X< )=P({X< 
}+{ 
})=P(X< )+P()=F()+P(), F() 
.
3. 0 
(из св-в 1 и 2.)
4. F(x) непрерывна слева по x, т.е. 
или 
где 
,
=F(
)+P(
), тогда F(
)= P(),
5. P(X 
)=P(a 
)=F(b)-F(a)-осн. Ф-ла вероятностей СВ.
{X<b}={a }+{X<a}, P(X<b)=P(a )+P(X<a)
F(b)=P(a )+F(a), F(b)-F(a)=P(a ).
Из св-в 1,2,4 
что каждая ф-я распределения явл. Неубыв. Слева, уд.усл: F(
)=0, F(+ )=1. Верным является и обратное:всякая ф-я, удовл. этим условиям может рассматриваться как ф-я распределения нек. СВ. Эти св-ва явл. Характеристич. Для ф-ии распред СВ.
Ф-я распред. n-мерной СВ (
) определяется ан-но, т.е. ф-я распред n-мерной СВ F(
) нзв числовую ф-ю, определенную в n-мерном арифмет пр-ве 
, знач-е которой опред-ся рав-ом: F()=P(
< 
< 
)
P({ < 
}...{ 
< }).
С геом точки зрения: F(
вероятность попадания значения (- 
Ф -и распред многомерн СВ обладают св-ми(н-р для ф-ии распред двумерн СВ):
1. 0 
2. F(x,y)-неуб по каждому из аргументов
3. F(x,y) – непрер слева по каждому их аргументов
4. F(+ 
)= 
, 
распред составляющей сногомерн СВ, эти законы иногда нзв предельными законами.
Понятие независимости СВ опред след образом: 2 СВ X,Y нзв независимыми, ес вып рав-ва: F(x,y)= 
ес СВ X,Y- дискрет СВ критерий их независимости формулир-ся след образом: Они будут независимы тогда и только тогда когда вы прав-во: 
для 
где 
ЕсX непрер СВ крит их независимости формул след образ: они независ тогда и токо тогда когда ф-я плотности распред вер-ти: f(x,y)= 
f(x,y)= 
-совместная ф-я плотности распред вер-ти; 
|
|
Закон больших чисел Чебышева. Центральная предельная теорема для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.
Под законом больших чисел в ТВ понимают ряд предельных теорем в кажд из которых устанавливают факт сходимости средних арифметич большого числа СВ к некот неслучайным величинам. Основной формой закона больших чисел явл предельная теор Чебышева.
Теорема Чебышева (Закон больших чисел в форме Чебышева)
Пусть X1,X2,…,Xn, - послед-ть независимых случ. величин с матем ожиданием и дисперсиями: MXi=ai; DXi= 
, (ограниченными одним и тем же числом c)
Тогда для ε 
имеет место равенство:
или 
.
Т о в теор Чебышева утверж-ся,что сред аоиф СВ при большом числе слагаемых теряет св-во случайности и может быть заменено неслуч величиной средним арифм их мат ожиданий.
Следствие: Если послед-ть X1, X2,…,Xn,… - послед-ть независ. одинаково-распределенных случ величин с мат ожиданием MXi=a, DXi= 
,тогда для 
, если a – измеряемое зн-е некот величины, точное зн-е которого неизвестно.Найти приблизит. зн-ие можно выбирая среднее арифметич всех результатов.
В основе док-ва теор Чебышева лежит нер-во Чебышева и понятие сх-ти послед-ти СВ по вероятности. Посл-ть СВ X1, X2,…, Xn,…нзв сх-ся по вероятности к нек величине A, ЕС для 
рав-во: 
Сх-ть по вероятности означает, что послед-ть СВ X1, X2,…, Xn,… приближается к величине А (она м б случайной и неслучайной), так что отклонение 
от A по модулю, превосходящее 
становятся все менее вероятнее с увеличением n но отклонения < 
становятся все более достоверными. 
Для кажд СВ X имеющей конечную дисперсию DX при 
им место нер-во:
|
|
P(
) 
– нер-во Чебышева.
Д-во теор Чебышева: П/ь Yn= 
; MYn=M()= 
;
DYn=D( ) = 
, согласно 2-му неравенству Чебышева (П/ь X- случ величина, обладающая конечной дисперсией 
, тогда для ∀ε 
имеет место нер-во: 
)) вероятность 
;
; 
след-но 
ч.т.д.
В центр пред теореме исследуется вопрос возникновения нормального распределения как предельного для суммы большого числа СВ. Она выявляет ту особую роль, кот играет норм распр-е. На практике норм закон всегда им место в тех случаях кгд СВ является результатом действ на большого числа равномерно малых но их влиянию на весь результатслуч факторов действующихнезависимо др от друга
Для случая одинаково распред-х предельн независ СВ
Цкетральная пред теор формул след обр: П/ь X1, X2,…,Xn,… - послед-ть независ. одинаково-распределенных случ величин с мат ожиданием MXi=a, DXi= , тогда ф-я распред стандартизированной СВ 
для 
стремится к ф-ии распределения стандартной нормальной СВ.
, т.е. 