Теорема Чебышева (Закон больших чисел в форме Чебышева)




Функция распределения вероятностей и ее свойства. Независимость случайных величин; критерий их независимости.

Для одномерной С.В. Х.

Функция распределения – числовая функция F(x), определенная на всей числовой прямой и принимающая значение: F(x)=P(X<x). Свойства

1. F()= , F(+ )=

F()=P(X< )=P()=0

F(+ )=P(X<+ )=P(Ω)=1

2. F(x) неубывает по x, т.е. для ,F()

P()=P(X< )=P({X< }+{ })=P(X< )+P()=F()+P(), F() .

3. 0 (из св-в 1 и 2.)

4. F(x) непрерывна слева по x, т.е. или где ,

=F()+P(), тогда F()= P(),

5. P(X )=P(a )=F(b)-F(a)-осн. Ф-ла вероятностей СВ.

{X<b}={a }+{X<a}, P(X<b)=P(a )+P(X<a)

F(b)=P(a )+F(a), F(b)-F(a)=P(a ).

Из св-в 1,2,4 что каждая ф-я распределения явл. Неубыв. Слева, уд.усл: F()=0, F(+ )=1. Верным является и обратное:всякая ф-я, удовл. этим условиям может рассматриваться как ф-я распределения нек. СВ. Эти св-ва явл. Характеристич. Для ф-ии распред СВ.

Ф-я распред. n-мерной СВ () определяется ан-но, т.е. ф-я распред n-мерной СВ F() нзв числовую ф-ю, определенную в n-мерном арифмет пр-ве , знач-е которой опред-ся рав-ом: F()=P( < < )

P({ < }...{ < }).

С геом точки зрения: F( вероятность попадания значения (-

Ф -и распред многомерн СВ обладают св-ми(н-р для ф-ии распред двумерн СВ):

1. 0

2. F(x,y)-неуб по каждому из аргументов

3. F(x,y) – непрер слева по каждому их аргументов

4. F(+ )= , распред составляющей сногомерн СВ, эти законы иногда нзв предельными законами.

Понятие независимости СВ опред след образом: 2 СВ X,Y нзв независимыми, ес вып рав-ва: F(x,y)= ес СВ X,Y- дискрет СВ критерий их независимости формулир-ся след образом: Они будут независимы тогда и только тогда когда вы прав-во: для где

ЕсX непрер СВ крит их независимости формул след образ: они независ тогда и токо тогда когда ф-я плотности распред вер-ти: f(x,y)=

f(x,y)= -совместная ф-я плотности распред вер-ти;

Закон больших чисел Чебышева. Центральная предельная теорема для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Под законом больших чисел в ТВ понимают ряд предельных теорем в кажд из которых устанавливают факт сходимости средних арифметич большого числа СВ к некот неслучайным величинам. Основной формой закона больших чисел явл предельная теор Чебышева.

Теорема Чебышева (Закон больших чисел в форме Чебышева)

Пусть X1,X2,…,Xn, - послед-ть независимых случ. величин с матем ожиданием и дисперсиями: MXi=ai; DXi= , (ограниченными одним и тем же числом c)

Тогда для ε имеет место равенство:

или .

Т о в теор Чебышева утверж-ся,что сред аоиф СВ при большом числе слагаемых теряет св-во случайности и может быть заменено неслуч величиной средним арифм их мат ожиданий.

Следствие: Если послед-ть X1, X2,…,Xn,… - послед-ть независ. одинаково-распределенных случ величин с мат ожиданием MXi=a, DXi= ,тогда для

, если a – измеряемое зн-е некот величины, точное зн-е которого неизвестно.Найти приблизит. зн-ие можно выбирая среднее арифметич всех результатов.

В основе док-ва теор Чебышева лежит нер-во Чебышева и понятие сх-ти послед-ти СВ по вероятности. Посл-ть СВ X1, X2,…, Xn,…нзв сх-ся по вероятности к нек величине A, ЕС для рав-во:

Сх-ть по вероятности означает, что послед-ть СВ X1, X2,…, Xn,… приближается к величине А (она м б случайной и неслучайной), так что отклонение от A по модулю, превосходящее становятся все менее вероятнее с увеличением n но отклонения < становятся все более достоверными.

Для кажд СВ X имеющей конечную дисперсию DX при им место нер-во:

P() – нер-во Чебышева.

Д-во теор Чебышева: П/ь Yn= ; MYn=M()= ;

DYn=D( ) = , согласно 2-му неравенству Чебышева (П/ь X- случ величина, обладающая конечной дисперсией , тогда для ∀ε имеет место нер-во: )) вероятность ;

; след-но ч.т.д.

В центр пред теореме исследуется вопрос возникновения нормального распределения как предельного для суммы большого числа СВ. Она выявляет ту особую роль, кот играет норм распр-е. На практике норм закон всегда им место в тех случаях кгд СВ является результатом действ на большого числа равномерно малых но их влиянию на весь результатслуч факторов действующихнезависимо др от друга

Для случая одинаково распред-х предельн независ СВ

Цкетральная пред теор формул след обр: П/ь X1, X2,…,Xn,… - послед-ть независ. одинаково-распределенных случ величин с мат ожиданием MXi=a, DXi= , тогда ф-я распред стандартизированной СВ для стремится к ф-ии распределения стандартной нормальной СВ.

, т.е.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-14 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: