Лекция № 8
ТЕМА ЛЕКЦИИ
Обработка результатов измерения
Цель лекции – изучить методики обработки однократных технических и многократных равноточных и неравноточных измерений
План лекции:
1. Технические (однократные) измерения
2. Многократные равноточные измерения
3. Многократные неравноточные измерения
Рекомендуемая литература
1. А.Г. Сергеев, М.В. Латышев, В.В. Терегеря. Метрология, стандартизация и сертификация. Стр. 13-37.
2. А.С. Сигов, В.И. Нефедов. Метрология, стандартизация и технические измерения. Стр. 14-41
Вводная часть
В целях повышения психологического настроя студентов на восприятие данной дисциплины в начале каждой лекции целесообразно проводить короткий опрос по материалу предыдущей лекции.
Вопросы для контроля:
а) Что понимается под погрешностью?
б) Перечислите виды погрешностей.
в) Назовите причины возникновения погрешеостей.
Требовать от отвечающих студентов представления перед ответом по форме: «Студент Сергеев. Группа ЭП – 1 – 04». Оценки заносить в журнал преподавателя.
После опроса объявить тему и цель лекции.
1. Основная часть
1. Технические (однократные) измерения
Измерения с однократными наблюдениями встречаются значительно чаще, чем многократные, особенно на производстве. Простота, низкая трудоемкость, возможность проведения большого количества измерений в единицу времени, низкая стоимость, во многих случаях достаточная точность являются важными достоинствами однократных измерений. В некоторых случаях проведение многократных измерений нецелесообразно из-за экономических соображений, в некоторых случаях они невозможны из-за разрушения объекта измерения в процессе самого измерения.
Результат единственного отсчета показания средства измерения содержит как систематические, так и случайные составляющие погрешности. Особенностью однократного измерения является то, что законы распределений случайных составляющих погрешностей неизвестны и представление о них формируется на основе ограниченной априорной информации, а иногда и на основе интуиции.
Проведение однократных измерений возможно, если средства измерений прошли поверку, метрологически аттестованы, соответствуют своему классу точности, метод измерения достаточно апробирован, и производят их обычно тогда, когда случайными составляющими погрешностей можно пренебречь по сравнению с неисключенными остатками систематических погрешностей. Поверкой называется определение метрологическим органом погрешностей средства измерения и установление средства измерения к применению. Поверка осуществляется в соответствии с требованиями, устанавливаемыми в нормативно-технической документации на средство измерения. Результаты поверки указываются в свидетельстве о поверке или паспорте на средство измерения.
Согласно методике МИ 1552-86 "ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений" требуется, чтобы составляющие погрешности были определены. Причем принимается, что случайные составляющие распределены по нормальному закону, а неисключенные остатки систематических погрешностей по равномерному закону с указанием границ.
Полагают, что погрешность измерений D складывается из следующих составляющих: основной, дополнительной, взаимодействия, динамической.
Основная погрешность Dо - погрешность средства измерения при нормальных условиях проведения измерения. Основной вклад в основную погрешность вносит инструментальная погрешности Dи, которая является следствием несовершенства конструкции и технологии изготовления, износа и старения средства измерения.
Суммарная дополнительная погрешность Dд определяется классом точности средства измерения и различными влияющими величинами. Состоит из ряда составляющих:
- погрешности от неправильной установки Dуст - наклон прибора, близкое расположение однотипных приборов и т.д.;
- погрешности от внешних воздействий - температуры, давления, влажности, электрических и магнитных полей, вибраций и т.д.
- методической погрешности Dм, связанной с несовершенством метода измерения, использованием идеальной функциональной зависимости вместо реальной;
- погрешности отсчитывания Dотс. В приборах с цифровым отсчетным устройством Dотс не превышает одного кванта шкалы и обычно включается в состав основной погрешности. Для аналоговых приборов предельное значение Dотс.п зависит от доли округления при отсчете и от цены деления шкалы:
(5.1)
где Ц - цена деления; k - коэффициент, значение которого зависит от долей округления. Фактически k определяется погрешностями, вносимыми экспериментатором при отсчете (погрешностями от округления, интерполяции, параллакса); практически этот коэффициент может принимать значения от 0,1 до 0,5;
- погрешности вычислений Dвыч - погрешности от округлений промежуточных результатов измерений;
- субъективные погрешности - это погрешности, связанные с индивидуальными особенностями наблюдателя, его квалификацией, внимательностью и скоростью работы.
Динамическая составляющая погрешности измерений Dдин проявляется при изменении значений измеряемых физических величин. Любое средство измерения обладает инерцией (электрической, тепловой, механической и т.п.), поэтому не может мгновенно реагировать на изменение измеряемой физической величины. Следовательно, при измерении изменяющейся во времени величины в каждый момент времени будет наблюдаться некоторое отставание показаний средства измерения от истинного значения физической величины. Динамическая погрешность зависит от динамических свойств средств измерения. При статических измерениях, когда скорость изменения измеряемой физической величины пренебрежимо мала, данная составляющая погрешности может не учитывается.
Причина появления погрешности взаимодействия СИ с объектом измерения Dвз обусловлена неидеальностью внутреннего сопротивления средства измерения. При включении средств измерений, обладающих конечными значениями внутренних сопротивлений, в измеряемой цепи может произойти изменение режимов ее работы.
Известно, что при измерении напряжения в цепях постоянного тока с помощью вольтметра с внутренним сопротивлением RV возникает погрешность взаимодействия из-за снижения падения напряжения на измеряемом участке цепи. Относительная погрешность при этом рассчитывается по формуле
(5.2)
где R вых - выходное сопротивление измеряемого участка цепи.
При измерении тока амперметром относительная погрешность взаимодействия равна
(5.3)
где R А- внутреннее сопротивление амперметра; R н - сопротивление нагрузки.
Для средств измерений с указанными значениями входного тока I вх и входного сопротивления R вх
(6.4)
При измерении на переменном токе в технической документации на средство измерения обычно указываются значения активного входного сопротивления и параллельно включенной емкости С вх. В этом случае
(6.5)
где w - круговая частота.
При постоянном включении средства измерения в измеряемую цепь, когда средство измерения является элементом измеряемой цепи, погрешность взаимодействия не учитывается.
Ниже приведен порядок определения и учета составляющих систематических погрешностей результата прямого однократного измерения, которого следует придерживаться.
По известным нормируемым метрологическим характеристикам средств измерения можно определить предельные значения некоторых составляющих погрешности измерения D i. Для симметричных составляющих погрешности можно определить предельное значение погрешности результата измерения, просуммировав составляющие:
(6.6)
где m - количество составляющих систематической погрешности.
Для такого случая результат измерения представляется в виде
Х ± D; P = 1. (6.7)
Если пределы хотя бы для одной составляющей погрешности результата измерения несимметричны, то модули нижнего и верхнего пределов будут неравны, поэтому необходимо вычислить нижний и верхний пределы погрешности результата измерения (Dн, Dв) с учетом их знаков.
Результат измерения при несимметричных пределах погрешности представляется в виде
X; D от Dн до Dв; Р = 1. (6.8)
В тех случаях, когда возможно найти систематическую составляющую погрешности Dс (систематическую погрешность) измерения, результат измерения целесообразно исправить внесением поправки, т.е. вместо значения Х измеренной величины использовать исправленное значение X испр:
Х испр = Х - Dc, (6.9)
соответственно изменив пределы погрешности измерения:
Dиспр,н = Dн - Dс , (6.10)
Dиспр,в = Dв - Dс. (6.11)
Так как исправленные пределы погрешности окажутся симметричными относительно нуля, то исправленный результат измерения в этом случае можно представить в виде
Х испр± D; P = 1. (6.12)
Систематическую погрешность Dс можно найти в случаях, когда пределы хотя бы одной составляющей погрешности имеют один знак или несимметричны относительно нуля при симметричном распределении погрешности относительно середины интервала возможных значений. Пусть, например, составляющая D i погрешности D распределена по закону равномерной плотности в интервале от D i, н до D i, в; тогда систематическая составляющая D i, с этой частной погрешности может быть определена по формуле
D i, с = 0,5×(D i, н + D i, в). (6.13)
Напомним, что по нормируемым метрологическим характеристикам можно определить только предельные значения D i, п составляющих D i погрешности измерения D.
Выше были рассмотрены вопросы обработки результатов однократных измерений для доверительной вероятности Р = 1. Чтобы произвести обработку результатов для заданной доверительной вероятности, отличной от 1, необходимо знать законы распределения частных погрешностей и уметь осуществлять их композицию; при этом реальные законы распределения принято заменять стандартными аппроксимациями.
Так, для неисключенных остатков систематических погрешностей, равномерно распределенных в заданных симметричных относительно нуля пределах, при условии, что ни одна частная погрешность явно не преобладает в сумме этих погрешностей, границы (±D) симметричного доверительного интервала для погрешности результата измерения можно найти по приближенной формуле
(6.14)
где D i - симметричные пределы доверительного интервала при доверительной вероятности Рi для i -й составляющей погрешности; К - коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р, зависящий от числа составляющих неисключенной систематической погрешности и их законов распределения. При Р = 90 % К принимается равным 0,95, при Р = 95 % К = 1,1, при Р = 99 % К = 1,4. Для других доверительных вероятностей он может быть определен в соответствии с ГОСТ 8.0207-76.
Для доверительной вероятности, отличной от единицы, при наличии несимметричных составляющих погрешности также следует отдельно определять верхние и нижние границы с представлением результата аналогично (5.8) либо вносить поправку в результат измерения и указывать исправленное предельное значение.
Перед проведением однократного измерения рекомендуется проанализировать априорную информацию об объекте измерения, убедиться в исправности средства измерения, оценить составляющие погрешности.
Пример расчета погрешности технического измерения. При измерении тока аналоговым амперметром класса точности 1,5 со шкалой 0-5 А, содержащей 100 делений, стрелка указателя с округлением до десятых долей показывает 38,2 деления. Температура окружающего воздуха составляет 15 оС. Сопротивление нагрузки 1 кОм, выходное сопротивление цепи 500 Ом, входное сопротивление амперметра 25 Ом. Записать результат технического измерения, считая, что точность отсчета составляет половину от минимального деления шкалы.
Решение. Определим цену деления 5/100 = 0,05 А. Отсюда показание амперметра 0,05×38,2 = 1,91 А.
Рассмотрим составляющие погрешности.
Так как измерение статическое, динамическая составляющая погрешности отсутствует. Методической погрешностью, погрешностью вычислений, погрешностью от неправильной установки амперметра, дополнительной погрешностью от воздействия электромагнитных полей, давления, влажности и т.д. согласно условиям задачи можно пренебречь.
Таким образом, имеются следующие составляющие погрешности: основная, взаимодействия, отсчета, дополнительная от воздействия температуры. Рассчитаем их значения.
Основная составляющая погрешности может быть рассчитана из класса точности амперметра. Класс точности нормирован по предельной приведенной погрешности ±1,5 %. С учетом нормирующего значения для данного амперметра I н = 5 А получаем
Dо = ± gо× I н/100 = ± 1,5×5×100 = ± 0,075 А.
Допустив, что предельное значение погрешности отсчета симметрично и составляет половину от минимального деления шкалы, рассчитаем предельное значение погрешности отсчета:
Dотс = 0,5×0,075 = ± 0,0375 А.
Определим составляющую дополнительную погрешность от влияния температуры. Известно, что для измерительных приборов класса точности 0,1 область нормальных значений температуры составляет (20 ± 2) оС, область рабочих температур (+10 ¸ +35) оС, причем дополнительная температурная погрешность не превышает основной на каждые 10 оС. Поэтому
 |
Рассчитаем погрешность взаимодействия объекта измерения с амперметром dвз. Так как включение амперметра в измеряемую цепь приводит к уменьшению тока через нагрузку, т.е. к снижению показаний амперметра, эта составляющая погрешности отрицательная:
Отсюда при I = 1,9 А
Dвз = -1,91×1,67/100 = -0,031897 » -0,032 А.
Просуммируем составляющие погрешности. В связи с тем, что имеется несимметричная составляющая погрешности, вычислим отдельно верхнее и нижнее предельные значения погрешностей измерений:
Dв = Dо + Dотс + Dд = 0,075 + 0,0375 + 0,0375 = 0,15 А.
Dн = -(Dо + Dотс + Dд + Dвз) = -(0,075 + 0,0375 + 0,0375 + 0,032) =
= -0,182 » -0,18 А.
Результат измерения, согласно (5.8), можно представить в виде
1,91 А; D от - 0,18 А до 0,15 А; Р = 1.
Результат измерения можно представить и в виде (5.12), если внести поправку в результат измерения. В данной задаче имеется лишь одна несимметричная составляющая погрешности - взаимодействия. В соответствии с (5.13)
½Dвз,с½ = 0,5×(0,032 + 0) = 0,016.
Исправленный результат измерения: 1,91 + 0,016 = 1,926 » 1,93 А.
Определим предельную погрешность исправленного результата:
D = Dо + Dотс + Dд + Dвз,с = 0,075 + 0,0375 + 0,0375 + 0,016 = 0,166 » 0,17 А.
Результат измерения, согласно (5.12),
(1,93 ± 0,17) А; Р = 1.
2. Многократные равноточные измерения
Если не имеется оснований полагать, что случайные составляющие малы по сравнению с систематическими составляющими погрешностей, то ими пренебрегать нельзя. В этом случае для определения характеристик погрешностей измерений, наряду с определением систематических составляющих погрешностей, необходимо проводить многократные измерения измеряемой физической величины для определения случайных составляющих.
При многократных измерениях отдельное измерение принято называть наблюдением, и, соответственно, результат отдельного измерения при проведении многократных измерений называется результатом наблюдения.
Многократные измерения показывают, что результаты отдельных наблюдений отличаются друг от друга. Отличия наблюдаются также в результатах отдельных серий многократных измерений. В метрологии принято различать равноточные и неравноточные измерения.
К равноточным (равнорассеянным) относятся измерения, проводимые одним наблюдателем, в одинаковых условиях, с помощью одного и того же средства измерения. Равноточность выполняется при условии, что измерения являются независимыми, одинаково распределенными.
Очевидно, что при многократных измерениях не имеется возможности проведения бесконечно большого количества наблюдений, следовательно, не имеется возможности принятия в качестве результата измерения истинного значения измеряемой величины и в качестве характеристик случайных величин принимаются не истинные, а приближенные оценки этих характеристик. Значения измеренной величины и оценок ее характеристик, в отличие от самих характеристик, являются случайными величинами, зависящими от количества проведенных наблюдений.
При многократных измерениях с ограниченным числом наблюдений (n £ £ 15) и невозможности оценить и исключить систематические погрешности ограничиваются вычислением среднего арифметического и оценки его среднего квадратического отклонения. Результат записывается в виде Х ср, sср, где sср - среднее квадратическое отклонение результата измерения.
При многократных измерениях используется методика обработки результатов наблюдений, состоящая из нескольких этапов. Ниже приведены основные этапы обработки.
1. Определяют и исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности:
Хi = Xi неиспр - Dс i ,
где Хi - исправленный результат отдельного наблюдения; Xi неиспр - неисправленный результат отдельного наблюдения; Dс i - систематическая погрешность отдельного наблюдения.
Как уже отмечалось, определение систематической погрешности во многих случаях является непростой задачей. Неоднократным повторением наблюдения одной и той же величины систематическую составляющую погрешности выявить невозможно, так как разброс результатов наблюдений является следствием влияния случайной составляющей погрешности. Для количественной оценки систематических погрешностей необходимы либо априорные знания об их свойствах, либо экспериментальное их определение с учетом влияющих величин. Или же требуется проведение измерений методом их сличения с использованием средств измерений более высокого класса точности.
Чтобы эмпирически определить систематическую погрешность, требуется выявить все источники погрешностей, определить их отдельные значения. Для их оценки необходимо знать свойства используемых средств измерений, метод измерения, условия проведения измерения. Все найденные составляющие систематической погрешности суммируются.
Однако следует учитывать, что даже после определения систематической погрешности и внесения поправок в результаты наблюдений имеются неисключенные остатки систематической погрешности. Это связано с тем, что определение поправок либо поправочных множителей, а также сам процесс внесения поправок проводится с определенной погрешностью.
При дальнейшей обработке к неисключенным остаткам систематической погрешности относятся как к случайным величинам.
2. Вычисляют среднее арифметическое значение Х ср исправленных результатов группы наблюдений, принимаемое в качестве результата измерения:
(6.14)
n - количество наблюдений; Хi - результат отдельного наблюдения.
Вычисленное по формуле (6.1) среднее арифметическое значение Х ср является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания М [ х ] при нормальном законе распределения результатов наблюдений. При любых других симметричных относительно М [ х ] законах распределения Х ср является состоятельной и несмещенной его оценкой.
Если известно, что систематическая погрешность всех наблюдений постоянна, то удобнее сначала вычислить среднее арифметическое значение неисправленных наблюдений, а затем вычесть из него значение систематической погрешности:
Х ср = Х ср неиспр - Dс , (6.15)
где 
. (6.16)
3. Рассеивание отдельных наблюдений относительно среднего значения оценивается по среднему квадратическому отклонению результатов наблюдений.
Если проводят измерения известной величины (эталона), то в качестве эффективной оценки применяют среднюю квадратическую погрешность результатов наблюдения s*, рассчитываемую от этой известной величины (действительного значения Х д):
(6.17)
Если измеряют неизвестную величину, то используют оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдения s, найденную по эмпирической формуле
s = (6.18)
Оценка s является несмещенной и состоятельной.
Рекомендуется провести проверку выполнения условия
При небольшом числе наблюдений (4-10) их рассеивание можно характеризовать размахом R = Х max - X min , где Х max и Х min - максимальное и минимальное значения из ряда наблюдений.
Если имеется основание считать, что в результатах наблюдений могут быть грубые погрешности, необходимо произвести проверку на их наличие.
Результаты наблюдений, вызывающие сомнение своим отличием от остальных в большую или в меньшую сторону, необходимо проверить на отсутствие промахов при их получении. Если наличие промахов не было выявлено, необходимо произвести проверку на наличие грубой погрешности.
Вопрос о том, содержит ли результат данного наблюдения грубую погрешность при заданной вероятности Р, можно решить с использованием критерия Романовского путем определения границ интервала, вероятность выхода случайного отклонения за пределы которого весьма мала. Эти границы gr для нормально распределенных результатов наблюдений вычисляются по формуле
gr = t гs, (6.19)
где t г - коэффициент, приведенный в табл. П3 Прилож. для заданных уровней значимости q = 1 - Р и известного числа наблюдений n;s- оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.
Если для заданной вероятности | Хi - Х ср| < gг, то можно считать, что данный результат грубой погрешности не имеет. В этом случае можно продолжать расчеты согласно методике обработки многократных равноточных измерений.
Если для выделяющегося результата наблюдения значение случайного отклонения | Хi - Х ср| > g г, то этот результат можно считать имеющим грубую погрешность и его следует отбросить, т.е. количество наблюдений уменьшить на единицу. В этом случае вновь необходимо повторить пункты 1, 2, 3 методики обработки результатов прямых равноточных наблюдений, считая число наблюдений равным n - 1.
При числе наблюдений от 20 до 50 можно воспользоваться критерием "трех сигм". Критерий может быть использован для результатов наблюдений, распределенных по нормальному закону. В этом случае считается, что результат с уровнем значимости q £ 0,003 маловероятен. Поэтому, если | Хi - Х ср| > 3s, то такой результат наблюдения можно считать промахом и его следует отбросить. Отметим, что правило "трех сигм" достаточно жесткое, поэтому при большом количестве наблюдений коэффициент может варьироваться в зависимости от количества результатов наблюдений. Так, при количестве наблюдений от 100 до 1000 коэффициент равен 4,5.
Известны и другие критерии, например, критерий Шарлье, критерий Диксона, вариационный критерий Граббса, или критерий Шовенэ. В частности, достаточно удобно пользоваться вариационным рядом Диксона - при его использовании наблюдаются малые вероятности ошибок. Для его использования все результаты наблюдений записываются в вариационный возрастающий ряд х 1, х 2, х 3,..., хn. Критерий Диксона равен отношению (хn - хn -1)/(хn - х 1). Если выясняется, что критерий больше значения Zq при заданном уровне значимости q (табл. П4 Прилож.), то данный результат считается грубой погрешностью.
Пример проверки наличия грубой погрешности в результатах наблюдений. Проведены десятикратные наблюдения падения напряжения на резисторе, которые дали следующие результаты в вольтах: 1,23; 1,83; 1,36; 1,46; 1,35; 1,49; 1,12; 1,42; 1,56; 1,38. Проверить по критериям Романовского и Диксона, содержат ли результаты наблюдения грубую погрешность при вероятностях 0,9 и 0,99.
Решение. Находим среднее значение результатов наблюдения и несмещенную оценку среднего квадратического отклонения
По табл. П3 Прилож. находим t г. При q = 0,1 и n = 10 t г = 2,294 при q = =0,01 и n = 10 t г = 2,616.
Следовательно,
t гs = 2,294×0,16 = 0,37 при Р = 0,9;
t гs = 2,616×0,16 = 0,42 при Р = 0,99.
Наиболее выделяющимся из ряда является результат второго наблюдения, поэтому произведем его проверку. Рассчитаем его разность со средним значением
| U 2 - U ср| = 0,41.
В связи с тем, что 0,41 > 0,37 при вероятности 0,9, по критерию Романовского можно сделать вывод о том, что U 2 - грубая погрешность и этот результат следует отбросить. Тем самым исключаются погрешности, вероятность появления которых меньше 10 %.
При Р = 0,99 0,41< 0,42, т.е. для вероятности появления погрешностей менее 1 % грубой погрешности не обнаружено.
Проверим выполнение требования по критерию Диксона при вероятности 90 %. Расположим результаты в виде вариационного ряда: 1,23; 1,32; 1,35; 1,36; 1,38; 1,42; 1,44; 1,46; 1,56; 1,83.
Критерий Диксона
КД = (1,83 - 1,56)/(1,83 - 1,23) = 0,27/0,6 = 0,45.
Из табл. П4 Прилож. при q = 0,10 Zq = 0,35. 0,45 > 0,35, следовательно, по этому критерию результат второго наблюдения относится к грубой погрешности при уровне значимости 0,10.
При q = 0,01 Zq = 0,53. Учитывая 0,45 < 0,53, можно считать, как и по критерию Романовского, при вероятности 99 %, что грубая погрешность в результатах наблюдений отсутствует.
4. После проверки на отсутствие грубых погрешностей вычисляют оценки среднего квадратического значения результата измерения sср:
(6.20)
Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения характеризует степень рассеивания результатов отдельных наблюдений относительно среднего арифметического значения.
Зная sср, можно найти наибольшую возможную, или предельную, погрешность Dпр. Понятие предельного значения погрешности теоретически справедливо только для погрешностей, имеющих четко выраженные границы закона распределений. Для таких законов (например, равномерного) можно указать такое значение ±Dпр, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения. Для других законов распределений Dпр следует понимать как значение, выход за которое весьма маловероятен. Принято считать, что для нормального закона распределений Dпр равно 3sср, так как при нормальном законе распределения вероятность того, что результат измерения отличается от истинного не более чем на 3sср, составляет чрезвычайно малое значение - 0,003, или 0,3 %, и такой погрешностью можно пренебречь.
Можно определить также вероятное значение погрешности Dв, которое соответствует доверительной вероятности 0,5, а это означает, что половина погрешностей превышает Dв, а половина меньше его. Для нормального закона распределения Dв » 2/3sср.
Недостатком оценок в виде предельных и вероятных значений является то, что они не содержат информации о характере законов распределений случайных погрешностей. Например, при арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превысить действительные погрешности.
5. Проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению (при n > 15) - см. главу 7.
6. Находят границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерения D1 и D2.
Если закон распределения неизвестен, но известны его числовые характеристики, можно грубо оценить его доверительную вероятность снизу при заданном симметричном доверительном интервале e. Для этого можно воспользоваться неравенством Чебышева:
Р ³ 1 - (6.21)
Данный способ расчета используется редко и в основном для ориентировочных оценок, так как при заданном доверительном интервале получаемое значение Р сильно занижено.
Более приближенные к действительным значения дает метод определения погрешности при законе, близком к нормальному. В этом случае используется формула
(6.22)
где Ф(t) - интеграл вероятности (табл. П5 Прилож.); t 1=.
Причем Ф(-t) = -Ф(t). При симметричном доверительном интервале (D1= =D2 = e) формула (6.9) упрощается:
(6.23)
Этот способ основан на использовании центральной предельной теоремы теории вероятности, согласно которой закон распределения суммы одинаково распределенных независимых случайных величин приближается к нормальному при условии, что число слагаемых в сумме неограниченно возрастает. Поэтому способ справедлив для любых законов распределения результатов наблюдений. Следовательно, при достаточно большом числе наблюдений (реально более 10-20) закон распределения может считаться близким к нормальному. Для малого числа наблюдений этот способ может привести к значительным ошибкам при определении доверительной вероятности.
Вероятность того, что случайная погрешность окажется за пределами интервала ± e, оценивается уровнем значимости q = 1 - Ф(t).
Для точного определения доверительной вероятности при малом количестве наблюдений существует способ, используемый для нормального закона распределения случайных погрешностей.
При заданном доверительном интервале доверительная вероятность может быть найдена по формуле
(6.24)
где F (t) - функция аспределения Стьюдента
Для симметричного доверительного интервала
Если требуется определить доверительный интервал, при заданной доверительной вероятности удобно воспользоваться следующими формулами:
e = t sср, или e* = t s*ср, (6.25)
где e - границы симметричного доверительного интервала (e = D1 = D2); t находится с использованием коэффициентов Стьюдента при известном количестве наблюдений n.
Использование последнего способа правомерно, если априорно известно, что закон распределения результатов отдельных независимых наблюдений нормальный либо проверка на нормальность распределения (см. главу 7) дала положительные результаты.
При решении задач часто доверительный интервал задается в виде ±3sср, при котором доверительная вероятность составляет 0,9973, или 99,73 %. Это означает, что на 370 проведенных наблюдений допустимо одно наблюдение с результатом, выходящим за пределы ±3sср. Если сузить границы доверительного интервала до ±2sср, то доверительная вероятность составит 0,955, или 95,5 %. Тогда выход за установленные пределы допускается на каждые 22 наблюдения.
Иногда требуется решение и обратной задачи - по заданной доверительной вероятности найти границы доверительного интервала, что возможно для всех трех способов при условии, что известны результаты отдельных наблюдений либо известна средняя квадратическая погрешность результата измерения. Если заранее доверительная вероятность не задана, то рекомендуется при технических измерениях принимать ее равной 0,95, а в особо ответственных случаях, связанных со здоровьем и безопасностью людей, применять доверительную вероятность, равную 0,99.
Пример расчета доверительной вероятности. При проведении многократных наблюдений выяснилось, что среднее квадратическое отклонение результата измерения равно 0,1 %. Считая, что границы доверительного интервала находятся в диапазоне 0,175 % от измеренного значения, рассчитать доверительную вероятность нахождения случайной погрешности в этом интервале.
Решение. Так как закон распределения погрешностей не задан, будем считать его близким к нормальному.
Из условия задачи следует, что границы симметричного интервала e равны 0,00175, sср = 0,001, отсюда t = 0,00175/0,001 = 1,75. По табл. П5 Прилож. находим значение функции Ф(t) = Ф(1,75) = 0,92. Следовательно, Р » 0,92. Уровень значимости 1 - Р » 0,08, а это значит, что лишь одна погрешность из 1250 может находиться за границами установленного доверительного интервала.
3.Многократные неравноточные измерения
Вопрос изучить самостоятельно (Атамалян Э.Г. стр. 83-84)
2. Заключительная часть
Общие замечания, контроль присутствия.