Свойства предела функции

Лекция 6

Предел последовательности

Напомним обозначения двух логических символов, символ - знак всеобщности; символ - символ существования.

Обозначим через N множество натуральных чисел. Итак, N= .

Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется закон, согласно которому каждому N ставится в соответствие действительное число , называемое элементом последовательности. Элемент называется общим членом последовательности.

Определение 2.

- окрестностью точки

называется множество точек

, удовлетворяющих неравенству

(которое равносильно двойному неравенству

Геометрически - окрестность точки представляет собой открытый интервал числовой прямой:

Определение 3. 1) Число называется пределом последовательности , если (N – натуральное число), такое, что число попадает в - окрестность точки a, то есть выполняется неравенство:

Тот факт, что a есть предел обозначается следующим образом: .

2) В случае, если не существует числа , удовлетворяющего пункту 1) данного определения, говорят что последовательность расходится (не имеет конечного предела).

3) Если , , такое, что (соответственно, ), то говорят, что последовательность расходится к (соответственно, расходится к ), и этот факт обозначают следующим образом: (соответственно, ).

4) Если , , такое, что , то говорят, что последовательность расходится к , и этот факт обозначают следующим образом: .

Определение 4. Последовательность называется монотонно возрастающей (соответственно, монотонно убывающей), если N (соответственно, ). Если N выполняются соответствующие строгие неравенства, то говорят о строгом возрастании и строгом убывании последовательности.

Определение 5. Число называется числом Эйлера.

Определение предела функции

Рассмотрим действительную функцию действительной переменной x с областью определения D(y), и пусть b – либо действительное число, либо бесконечно удаленная точка (то есть или просто ).

Определение 6. 1) Предположим, что существует хотя бы одна последовательность D(y), строго стремящаяся к a. Точка b называется пределом функции при x стремящемся к a, если для любой последовательности D(y), строго стремящейся к a, выполняется соотношение: . Тот факт, что b является пределом функции при х стремящемся к a, обозначают так: .

2) Предположим, что существует хотя бы одна последовательность D(y), строго монотонно возрастающая (соответственно, строго монотонно убывающая) к a. Точка b называется левым (соответственно правым) пределом функции при x стремящемся к a, если для любой последовательности D(y), строго монотонно возрастающей (соответственно, строго монотонно убывающей) к a, выполняется соотношение: . Обозначение левого предела: (соответственно, правого предела: ).