Выбор оптимального маршрута поездки.




Раздел 1.

 

 

Постановка задачи:

 

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

 

Порядок решения задачи:

 

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

 

 

А 1 Б

                   
     
   
 
     
 
 
 
 

 


4 В 2

                       
   
     
       
   
 
 
 
 
 

 


Д 3 Г

 

 

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

 

пункт i А Б В Д    
yi   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥
          8,32  
    16,64        

 

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij < yi, то величина yi = yj + lij, в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

 

yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9

yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13

yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32

 

Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

 

y4 + lB4=9+7=16 > yB=13

y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17

 

yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17

yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28

yВ + l=13+9=22 > у1=8,32

 

y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13

y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64

 

yД + l=8,32+17=25,32 > y4=9

yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13

 

yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13

yБ + l=16,64+8=24,64 > y1=8,32

 

Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети.

 

l4A = у4 - уА 9=9-0

l > у4 – уД 8,32>9-17

lД4 = уД – у4 8=17-9

lДВ > уД – уВ 12>17-13

lBA = yB - yA 13=13-0

l> yB – yД 12,32>13-17

l> yB – yБ 15,32>13-16,64

lB4 > yB – y4 7>13-9

lB1 > yB – y1 10>13-8,32

lБВ > уБ - уВ 15>16,64-13

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0

l > у1 – уВ 9>8,32-13

l > у1 – уБ 8>8,32-16,64

 

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj

 

Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 9=9-0

lД4 = уД – у4 8=17-9

lBA = yB - yA 13=13-0

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0

 

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

 

пункт   Д Б   В
расстояние до А     16,64 8,32  

 

 

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

 

 

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

 

 

  А Б В Г Д
А ---   13,32 --- 17,64
Б 16,64 ---     ---
В   15,32 ---   12,32
Г --- 21,64 15,32 ---  
Д   ---   16,32 ---

 

 

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

 

Найти минимальное значение целевой функции z

 

n+1 n+1

min z = S S lij * xij

i=1 j=1

 

при следующих ограничениях:

 

 

n из каждого города i нужно уехать только один раз

 

n+1

S xij = 1 i=1,......, n+1

j=1

 

n в каждый город j нужно приехать только один раз:

 

n+1

S xij = 1 j=1,......, n+1

i=1

 

n переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

 

n решение есть простой цикл

 

 

4. Решение задачи:

 

  А Б В Г Д
А ---   13,32 --- 17,64
Б 16,64 ---     ---
В   15,32 ---   12,32
Г --- 21,64 15,32 ---  
Д   ---   16,32 ---

 

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

 

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64, чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

 

А – Б – Г – Д – В – А

 

min z = 16+21+16+12+13 = 78

 

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

 

 

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

 

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

 

 

Затраты на приготовление аб, руб

 

мощность АБЗ Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час тыс. т/год        
           
           
           

 

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб

 

Пункт размещения Зона-потребитель  
    28,3 60,3 45,3 90,3
    61,3 30,3 93,3 48,3
    50,3 95,3 33,3 62,3
    99,3 54,3 65,3 36,3
               

 

 

Математическая модель транспортной задачи:

 

m n

min z = S S Cij * xij

i=1 j=1

 

Ограничения:

 

n

n S xij = ai i=1,......, m

j=1

 

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

 

m

n S xij = bj j=1,......, n

i=1

 

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

 

n xij ³ 0 i=1,...., m; j=1,...., n

xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

 

 

Транспортная таблица:

 

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=135 Ui Ki
  433,3 440,3 < 465,3 449,3 < 450,3 437,3 < 495,3      
X1=90             5/9
  433,3 < 471,3 440,3 449,3 < 503,3 437,3 < 458,3      
X2=90             6/9
  433,3 < 466,3 440,3 < 511,3 449,3 437,3 < 478,3      
X3=90             ½
  433,3 < 500,3 440,3 < 455,3 449,3 < 466,3 437,3      
X4=90             7/9
Vj 433,3 440,3 449,3 437,3      

 

 

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

 

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij

 

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.

 

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

 

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).

 

Проверяем план на оптимальность:

· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство:

Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij

 

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

 

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

 

Ki = S xij / xi

 

S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi – мощность i-го АБЗ

 

Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

 

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

 

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.

 

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=90 Ui Ki
  433,3 424,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -16< 0    
X1=90           -16  
  449,3 < 471,3 440,3 466,3 < 503,3 437,3 < 458,3      
X2=90             6/9
  449,3 < 485,3 440,3 < 530,3 466,3 < 468,3 437,3 < 497,3      
X3=45              
  449,3 < 500,3 440,3 < 455,3 466,3 437,3      
X4=90             15/18
Vj 449,3 440,3 466,3 437,3      

 

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

 

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=45 Ui Ki
  433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -18< 0    
X1=90           -16  
  452,3 < 489,3 458,3 469,3< 521,3 440,3 < 476,3 1 > 0    
X2=45   45 _     +    
  451,3 < 485,3 457,3 < 530,3 468,3 439,3 < 497,3      
X3=45     0 +   _ 45    
  449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -2 < 0    
X4=90   15 + 5 _        
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -2    

 

 

Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

 

 

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=45 Ui Ki
  433,3 440,3 < 465,3 450,3 422,3 < 495,3 -18 < 0    
X1=90           -18  
  451,3 < 489,3 458,3 468,3 < 521,3 440,3 < 476,3      
X2=45             8/9
  451,3 < 485,3 458,3 < 530,3 468,3 440,3 < 497,3      
X3=45             1/9
  448,3 < 500,3 455,3 465,3 < 466,3 437,3 -3 < 0    
X4=90           -3  
Vj 451,3 458,3 468,3 440,3      

 

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

 

Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год B1=50 B2=60 B3=45 B4=70 Bф=18 Ui Ki
  433,3 439,3 < 465,3 450,3 421,3 < 495,3 -78 < 0    
X1=90           -16  
  452,3 < 489,3 458,3 469,3 < 521,3 440,3 < 476,3 -59 < 0    
X2=45              
  511,3 < 545,3 517,3 < 590,3 528,3 499,3 < 557,3      
X3=18              
  449,3 < 500,3 455,3 466,3 437,3 -62 < 0    
X4=90              
Vj 449,3 455,3 466,3 437,3 -62    

 

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

 

 

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

 

Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год Значение целевой функции, zi, тыс.руб.
  М1 М2 М3 М4  
          98912,5
          99037,5
          100067,5
4 -наилучший         100072,5

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-03-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: