БИЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
4.1. Линейная функция
Рассмотрим простейшие числовые функции, аргументами которых являются вектора. Простейшей числовой функцией в пространстве L является линейная функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция называется линейной, если
ставит в соответствие число и при этом выполнены условия:
.
.
Выберем в n -мерном линейном пространстве базис
. Так как каждый вектор
можно представить в виде:
,
то в силу свойства линейной функции имеем:
.
Итак, в линейном n -мерном пространстве с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде
, (1)
где постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а
- координаты вектора
в этом базисе.
Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.
Пусть и
- два базиса в
. Предположим, что векторы
выражаются через векторы базиса
следующим образом:
,
В базисе линейная функция
определяется выражением
, (2)
а в базисе - выражением
. (3)
Так как
то
Следовательно, коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса этого пространства.
4.2. Билинейные формы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Выражение называется билинейной функцией (билинейной формой) от векторов
и
, если:
. При фиксированном
есть линейная функция от
, то есть:
а) ,
б) .
. При фиксированном
есть линейная функция от
, то есть:
а) ,
б) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Билинейная функция (форма) называется симметричной, если для всех векторов и
имеет место равенство:
(4)
В частности, из определения скалярного произведения в евклидовом пространстве Е следует, что это произведение является симметричной билинейной формой.
|
4.3. Матрицы билинейной формы
Выберем в n -мерном пространстве какой-либо базис
и выразим билинейную форму
через коэффициенты
и
векторов
и
в этом базисе. Имеем:
В силу свойств а) и б) пункта билинейной формы, имеем:
Или, короче:
.
Обозначим постоянные через
. Тогда в заданном базисе
всякая билинейная форма в n -мерном пространстве может быть записана в виде:
. (5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Матрицу
, составленную из коэффициентов
многочлена (5), называют матрицей билинейной формы
в базисе
Таким образом, в каждом базисе пространства билинейная форма
определяется своей матрицей:
.
4.4. Преобразование матрицы билинейной формы
При изменении базиса
Пусть даны в n -мерном линейном пространстве два базиса:
и
. Причем, векторы второго базиса
выражаются через векторы базиса
формулами:
Матрицу
назовем матрицей перехода от базиса к базису
.
Пусть
есть матрица билинейной формы
в базисе
, а
матрица той же билинейной формы в базисе
. Наша задача состоит в том, чтобы по матрице
найти матрицу
.
По определению , то есть
- значение билинейной формы
при
.
Для того, чтобы найти это значение, то есть , воспользуемся формулой (5), подставив в нее вместо
и
координаты векторов
и
в базисе
, то есть числа
и
. Получим:
. (6)
Это и есть искомая формула.
Запишем ее в матричной форме. Для этого положим . Таким образом,
является элементами матрицы
, транспонированной к матрице С. С учетом этого выражение (6) можно записать так:
или
.
Итак, если А и В суть матрицы билинейной формы соответственно в базисах
и
., то преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому будет иметь вид:
|
где С - матрица перехода от базиса к базису
., а
- транспонированная матрица.
4.5. Квадратичные формы
Пусть - симметричная билинейная форма.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция , которая получается из билинейной формы
, если положить в ней
=
, называется квадратичнойформой.
Всякая квадратичная форма , в базисе
евклидового пространства Еn выражается следующей формулой:
, (7)
где
симметричная матрица
квадратичной формы и
.
В некотором базисе выражение (7) квадратичной формы может не содержать произведений , то есть
, (8)
Выражение (8) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если , то получаем нормальный видквадратичной формы
.
Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид.
4.6. Методы приведения квадратичной формы
К каноническому виду
а) Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная форма имеет в базисе
вид (7). Для приведения формы
к сумме квадратов методом Лагранжа рассмотрим случай квадратичной формы, у которой все коэффициенты
(при квадратах
),
равны нулю и в то же время эта квадратичная форма не равна тождественно нулю, то есть в ней есть отличное от нуля хотя бы одной произведение, например,
.
Выполним преобразование базиса, при котором коэффициенты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:
.
Тогда:
.
Таким образом, всегда найдется такой базис, в котором в записи (7) хотя бы один коэффициент при квадрате .отличен от нуля.
|
В дальнейшем будем считать, что . (Если
, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе, занумеровав векторы
, что также является некоторым преобразованием базиса).
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащей , то есть
.
Дополним эту сумму до полного квадрата:
,
где есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от
. Если теперь сделать замену
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
.
В полученной форме выделено слагаемое , а оставшаяся часть А, является квадратичной формой в
.
Далее эти рассуждения повторяются для исходной квадратичной формы и т.д. Конечным результатом является то, что она приводится к нормальной форме.
ПРИМЕР 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
.
Первое преобразование:
.
Тогда получим:
.
Второе преобразование:
.
Получим новое выражение для квадратичной формы:
.
Третье преобразование:
.
форма примет канонический вид:
.
При этом
.
б) Метод собственных векторов.
Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
. Так как матрица
симметрична, то она может быть представлена
в виде:
где – D диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а U - ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А. Как ранее отмечалось, что эти вектора в случае различных собственных чисел матрицы А являются линейно независимыми и образуют базис в .
Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса , в котором матрицa А имеет диагональный вид, и, следовательно, квадратичная форма – искомый канонический вид.
Соответствующее преобразование координат определяется соотношением:
.
ПРИМЕР 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
,
заданную в евклидовом пространстве , к каноническому виду. Написать этот канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
.
Определим собственные числа этой матрицы. Имеем:
.
Раскрывая определитель, находим корни характеристического многочлена, которые являются собственными числами матрицы А. Итак, собственные числа этой матрицы суть .
Соответствующие ортонормированные собственные векторы:
и, следовательно,
.
В базисе заданная квадратичная форма имеет вид:
,
а соответствующее преобразование координат:
.