Выполните домашнее задание №598, 600

Выучите основной материал урока (пункт 68-73)

Сделайте краткий конспект

Разберите и запишите краткое решение задач. Не забудьте сделать рисунок, записать, что дано, что нужно найти, решение и ответ.

Выполните домашнее задание №598, 600

Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Ранее вы уже познакомились с понятием касательной плоскости к сфере, её свойством, а также с признаком касательной плоскости к сфере.

Вспомним их. Итак, плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Признак касательной плоскости к сфере: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Перейдём к рассмотрению вопроса о нахождении площади сферы.

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура.

Поэтому для сферы не подходит способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки.

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника.

Определение:

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней.

При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Говорят, что сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани.

Площадь сферы можно вычислить по формуле , где – радиус сферы.

Задача: найдите площадь сферы, радиус которой равен см.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

По условию задачи радиус сферы равен см. Подставим длину радиуса в формулу. Получим, что площадь сферы равна . Запишем ответ.

Задача: площадь сферы равна см². Найдите радиус сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

И выразим из неё радиус. Получили, что радиус сферы можно вычислить по формуле: . Не забудем записать ответ.

Задача: площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна см². Найдите площадь сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

Рассмотрим внимательно рисунок.

Напомним, что сечение сферы плоскостью есть окружность. Так как по условию задачи сечение сферы проходит через её центр, то сечение будет иметь радиус равный радиусу сферы .

Площадь сечения (окружности) вычисляется по формуле . Отсюда, найдём радиус (см).

Подставим найденный радиус в формулу для вычисления площади сферы. Посчитаем. Получим, что площадь сферы равна .

Запишем ответ.

Задача: около сферы описан куб с ребром, равным см. Вычислите площадь сферы.

Решение: запишем формулу для вычисления площади сферы.

Напомним, что многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней.

При этом плоскость каждой грани куба является касательной к сфере. А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Значит, диаметр нашей сферы равен длине ребра куба (см). Отсюда, радиус сферы равен (см).

Подставим радиус сферы в формулу для вычисления площади сферы. Посчитаем. Получим, что площадь сферы равна .

Не забудем записать ответ.