Ошибки реальных механизмов

В реальных условиях выработка заданной функции положения механизма ψ₀ осуществ­ляется не теоретическим, а так называемым действительным меха­низмом, функция положения которого ψ_д ≠ ψ₀. Это неравенство является следствием наличия в действительных механизмах ОА₁В' (рисунок 1.32, а) так называемых первичных ошибок ∆ p_i - отклонений размеров звеньев и формы геометрических элементов. Разницу в положениях ведомых звеньев 3 действительного и соответствующего теоретического меха­низмов при одинаковых положениях ведущих звеньев 1обоих меха­низмов принято называть ошибкой положения механизма:

Δψ_п = ψ_д (q + p ₁ + Δ p ₁, p ₂ + Δp_2, ..., p _m + Δ p _m ) -

- ψ₀ (q, p _1, p _2,..., p _m ) = Δψ_п (Δ p ₁, Δp_2, ..., Δ p _m ). (1.33)

В каждом положении механизма (или в некоторых) общая погреш­ность выработки действительным механизмом заданной функции не должна превышать некоторого допустимого значения [Δψ] т. е.

Δψ = Δψ_т + Δψ_п≤ [Δψ] (1.34)

Из уравнения (1.34) следует, что общая для механизма допустимая ошибка положения [Δψ] должна быть рационально разделена на две части: [Δψ] = [Δψ]_т + [Δψ]_п, одна из которых, [Δψ]_т, относится к теоретической ошибке, а вторая, [Δψ]_п, - к ошибке положения, обу­словленной неточностью изготовления звеньев. Если в рассматриваемом положении ввод в механизм обобщенной координаты сопровождается ошибкой Δ q (рисунок 1.32, б), то разница в положениях ведомых звеньев действительного ОА'В' и соответст­вующего теоретического механизмов отличается от Δψ_п перемещени­ем ведомого звена, вызванного ошибкой Δ q = (q + Δ q) - q. Раз­ница Δψ_п.п=ψ*-ψ₀* в положениях ведомых звеньев действитель­ного и соответствующего теоретического механизмов, возникающая от неточности изготовления звеньев и ошибки ввода обобщенной ко­ординаты, называется полной ошибкой положения или ошибкой по­ложения ведомого звена:

Δψ_п.п = Δψ_п.п (Δ q, Δ p ₁, Δp_2, ..., Δ p _m ) (1.35)

Посредством ошибки положения производится оценка точности выработки абсолютного значения заданной функции. При относитель­ных методах измерения воспроизводимой функции точность меха­низма оценивается ошибкой перемещения - разностью Δψ_п.ер = ψ^д_пер - ψ^т_пер перемещений ведомых звеньев действительного ψ^д_пер и соответствующего теоретического ψ^т_пер механизмов при одинаковом перемещении ведущих звеньев этих механизмов в интервале от q _н до q _к. Так как (рисунок 1.33)

ψ^д _пер = ψ_д.к - ψ_д.н, а ψ^т_пер = ψ_о.к - ψ_о.н, то Δψ_пер = ψ_д.к - ψ_д.н - ψ_о.к + ψ_{о.н =} (ψ_д.к -ψ_о.к ) - (ψ_д.н - ψ_о.н ),

или Δψ_пер = Δψ_п.к - Δψ_п.н, (1.36)

т. е. ошибка перемещения в диапазоне изменения обобщенной коор­динаты от q _н до q _к равна разности ошибок положения механизма в конце и начале движения. Ошибка перемещения ведомых звеньев действительного и соот­ветствующего теоретического механизмов, обусловленная не только первичными ошибками, но и неточностью ввода обобщенной коор­динаты в начале и конце движения, называется полной ошибкой пере­мещения или ошибкой перемещения ведомого звена:

Δψ^п _пер = Δψ^к _п.п - Δψ^н _п.п, (1.37)

В реверсивных механизмах важное значение имеет ошибка переме­щения, называемая ошибкой мертвого хода Δψ_м.х. Она возникает при реверсе, т. е. при изменении направления движения ведущего звена вследствие наличия зазоров в кинематических парах (рисунок 1.34, а) и упругих деформаций звеньев (рисунок 1.34, б). Иначе говоря, ошибка мертвого хода — это отставание ведомого звена при изменении направления движения ведущего звена. Значение Δψ_м.х можно определять как ошибку перемещения по формуле (1.36) при условии, что ошибки положения в конце Δψ_п.к и начале Δψ_п.н

дви­жения вычисляются для одного и того же положения ведущего звена (q), но при другом направлении его движения. Вследствие первичных ошибок в действительном механизме зна­чения его передаточных функций также будут иметь ошибки.

Ошибка первой передаточной функции (аналога скорости)

(1.38)

Ошибка второй передаточной функции (аналога ускорения)

(1.39)

Из-за наличия ошибок передаточных функций скорости и уско­рения звеньев действительного и соответствующего теоретического механизмов будут разными. Ошибка скорости ведомого звена

Δψ = ψ_д – ψ _{0 =} (d ψ_д /d q) q - (d ψ₀ /d q) q= Δ(d ψ /d q) q. (1.40)

Ошибка ускорения:

Δψ = ψ_д – ψ _{0 =} (d² ψ_д /d q ²) q ² - (d² ψ₀ /d q ²) q ² = Δ(d² ψ /d q ²) q ².(1.41)

Наличие ошибок скорости и ускорения приводит к возникнове­нию в механизмах дополнительных сил инерции и соответствующих им реактивных сил в кинематических парах.

Первичные ошибки

Первичными ошибками (ПО) называются отклонения от номи­нальных значений в координатах, которыми однозначно определяют­ся размеры геометрических элементов звена и их взаимное располо­жение. Они возникают при изготовлении деталей звеньев (технологи­ческие ПО) и в процессе эксплуатации механизмов (температурные, силовые и износные ПО). Решающую роль в образовании ошибки положения механизма играют технологические ПО, к которым обыч­но приводятся и другие ошибки.

Первичные ошибки делятся на скалярные и векторные, система­тические и случайные, действующие и недействующие.

Скалярные первичные ошибки (СПО) относятся к параметрам зве­на, имеющим определенное номинальное значение (например, ошиб­ка размера звена). В конкретном экземпляре одинаковых механиз­мов данной партии каждая скалярная ошибка имеет вполне опреде­ленные значение, знак и направление; во всей партии та же ошибка случайна, так как ее размер изменяется в пределах допуска от одного экземпляра к другому.

Векторные первичные ошибки (ВПО) характеризуются модулем и направлением. Они относятся к нулевым параметрам механизмов, т. е. к параметрам, номинальные значения которых равны нулю (эксцентриситеты, перекосы). ВПО всегда случайны, так как их направления становятся известными только после образования.

Возможное число первичных ошибок в звене определяется числом геометрических элементов и числом ПО в каждом элементе. Поло­жение элемента звена в произвольно выбранной системе координат (х, у, z) определяется некоторым числом параметров. Каждый пара­метр имеет неточность, поэтому число скалярных первичных ошибок элемента равно числу его параметров.

Определим, например, число возможных СПО элемента звена вра­щательной пары, образуемой одной цилиндрической 1 и двумя пло­скими 2 поверхностями (рисунок 1.35, а). Цилиндрическая поверхность 1 может иметь пять СПО (рисунок 1.35, б): Δr, Δ y _А, Δ z _А, Δ x _В и Δ у _В, а плоские - по три (рисунок 1.35, в): Δ x, Δ у, Δ z. Следовательно, иско­мое число возможных СПО равно 11, т. е. 5 + 3 + 3. Число СПО в звене может быть уменьшено, если отсчет номиналь­ных размеров вести не от осей произвольно выбранной системы ко­ординат, а от линий или поверхностей звена, принятых за базу. Рас­смотрим, например, звено рычажного типа (коромысло, шатун, кри­вошип). Если такое звено входит в две вращательные пары, то общее число его СПО в произвольной системе координат (рисунок 1.36, а) будет 2·11 = 22. Если же ось z направить по оси одного элемента, а ось х - так, чтобы она пересекала ось второго элемента (рисунок 1.36, б), то в первом элементе останется шесть СПО, а во втором - десять. Об­щее число СПО рассматриваемого звена будет 6 + 10 = 16.

Не все первичные ошибки в равной степени влияют на образова­ние ошибки положения. В кулачковом механизме (рисунок 1.37, а), на­пример, ошибка радиус-вектора Δ r вызывает отклонение функции по­ложения от ее теоретического значения S _o(φ) на Δ S _{Δ r} =Δ r sinφ, тогда как частная ошибка Δ S _{Δ b} = (Δ b /2) sin γ проявляет себя только при перекосе оси кулачка 1 (рисунок 1.37, б), а ошибка Δ S' _{Δ b} = (Δ b /2) tg γ - при перекосе толкателя 2 (рисунок 1.37, в). Очевидно, что частная ошибка Δ S _{Δ r} может быть значительной, тогда как ошибки Δ S _{Δ b} и Δ S '_{Δ b} на порядок меньше, так как угол перекоса γ мал по сравнению с φ.

Первичные ошибки, вызывающие соизмеримые частные ошибки положения, называются действующими (ДПО). Действующую ПО, которая дает наибольшую частную ошибку положения, называют доминирующей. Недействующими называются ПО, дающие по срав­нению с другими частные ошибки положения более высокой степени малости. В плоских механизмах к недействующим относятся те ПО, которые расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости вра­щения. В рассмотренном выше звене рычажного типа (рисунок 1.36, б) 11 ошибок торцовых поверхностей являются недействующими (5 в од­ном элементе и 6 в другом). Поэтому звено рычажного типа имеет всего 16 - 11 = 5 ошибок: отклонения радиусов Δ r ₁ и Δ r ₂, расстоя­ния между осями Δ l и две ошибки перекоса оси второго элемента в плоскостях xz и yz. Аналогично можно определить и число ДПО в других звеньях.

В собранном механизме общее число ДПО обычно меньше суммы ДПО звеньев. Это является следствием объединения некоторых ДПО. Так, например, две ошибки радиусов во вращательной паре обра­щаются в одну ошибку эксцентриситета, которую можно разложить по направлениям звеньев и каждую из составляющих рассматривать в сумме с ошибкой размера звена как одну СПО.

Все действующие первичные ошибки делят на две группы:

1) ПО, влияние которых на образование ошибки положения может быть полностью или частично скомпенсировано последством регулировки механизма при сборке. Для этого в механизме предусматривают специальные устройства – компенсаторы, позволяющие изменять во время сборки механизма отклонения одного или нескольких параметров в ту или иную сторону с целью компенсировать влияние отклонений остальных параметров, т.е. производят регулировку механизма.

2) ПО, которые не могут быть скомпенсированы - это местные искажения контактирующих поверхностей. Закономерности их изменения установить не всегда удается, поэтому в конкретном механизме возникновение этих ошибок обычно предупреждают конструктивными средствами: введением в цепь упругих элементов и выборкой с их помощью зазоров в кинематических парах, демпфированием и др.