С щагом 0,1 и 0,01 изобразить на плоскости графики функций

С щагом 0,1 и 0,01 изобразить на плоскости графики функций:

1. 2.

3. 4. .

8.

, .

11. , . 12. ,

. 14.

15. 16.

§ 3. Основные свойства и графики элементарных функций

1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) При функция не имеет корней;

при корнем функции является любое действительное число;

6) При функция положительна на промежутке ,

при функция отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Промежутков возрастания и убывания нет. На всей области определения функция принимает одно и то же значение;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 1–3).

у у

О х

Рис.1 Рис.2

О х Рис. 3

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень при любом

График функции пересекает ось Ох в точке ;

6) При функция положительна на промежутке и отрицательна на промежутке ; при функция положительна на промежутке и отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция возрастает на всей области определения;

при функция убывает на всей области определения;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 4–5).

у у

О х

Рис.4 Рис.5

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень .

График функции пересекает ось Ох в точке ;

6) При функция положительна на промежутке ,

отрицательна на промежутке ; при функция положительна на промежутке , отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция возрастает на всей области определения;

при функция убывает на всей области определения;

9) Точек максимума и минимума нет.

10) График функции – прямая (рис. 6-9).

, ,

у у

О х

О х b

Рис.6 Рис.7

, ,

у у

О х

Рис.8 Рис.9

2. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень при любом График функции касается оси Ох в точке ;

6) При функция положительна на промежутках и , при функция отрицательна на промежутках и ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция убывает на и возрастает на ; при функция возрастает на и убывает на ;

9) При функция имеет минимум в точке , причем При функция имеет максимум в точке , причем ;

10) График функции изображен на рис. 10-11.

у у

О х

Рис.10 Рис.11

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень при любом График функции пересекает ось Ох в точке ;

6) При функция отрицательна на промежутке и положительна на промежутке , при функция положительна на промежутке и отрицательна на промежутке ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция возрастает на всей области определения, при функция убывает на всей области определения;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График функции изображен на рис. 12-13.

у у

О х

Рис. 12 Рис. 13

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция не имеет корней при любом График не пересекает ось Ох;

6) При функция положительна на промежутках и , при функция отрицательна на промежутках и ;

7) График функции не пересекает ось Оу;

8) При функция возрастает на и убывает на ; при функция убывает на и возрастает на ;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График имеет вертикальную асимптоту х= 0 и горизонтальную асимптоту при

11) График функции изображен на рис. 14–15.

у у

О х

Рис. 14 Рис. 15

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является нечетной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция не имеет корней при любом График функции не пересекает ось Ох;

6) При функция отрицательна на промежутке и положительна на , при функция положительна на промежутке и отрицательна на ;

7) График функции не пересекает ось Оу;

8) При функция убывает на промежутках и ; при функция возрастает на промежутках и ;

9) Функция не имеет минимумов и максимумов;

10) График имеет вертикальную асимптоту х= 0 и горизонтальную асимптоту при

11) График функции изображен на рис. 16–17.

у у

О х

Рис. 16 Рис. 17

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет единственный корень при любом

График функции касается оси Ох в точке ;

6) При функция положительна на промежутках и , при функция отрицательна на промежутках и ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке ; при функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке ;

9) При функция имеет минимум в точке , причем

При функция имеет максимум в точке , причем

10) График функции – парабола (рис. 18–19).

у у

О х

Рис.18 Рис.19

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Если и или и , то функция имеет два различных действительных корня: и . В этих случаях график функции пересекает ось Ох в точках и .

Если и или и , то функция не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ох и не касается ее, а расположен всюду выше Ох или всюду ниже Ох в соответствии со знаком а;

6) При и функция положительна на и , а отрицательна на . При и функция положительна на . При и функция отрицательна на и ; положительна на . При и функция отрицательна на ;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) При функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

При функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке ;

9) При функция имеет минимум в точке , причем При функция имеет максимум в точке , причем

10) График функции – парабола (рис. 20–23).

, ,

у у

О х

с О х

Рис. 20 Рис. 21

, ,

у у

О х

Рис. 22 Рис. 23

Свойства функции

1) ;

2) , если , , если ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) , где ;

6) При функция имеет два различных действительных корня: . График пересекает ось Ох в точках и .

При функция имеет один действительный корень: В этом случае график касается оси Ох в точке .

При функция не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ох и не касается ее, а расположен всюду выше оси Ох или всюду ниже оси Ох в соответствии со знаком числа а;

7) При : . При : При функция не разлагается на множители;

8) При и функция положительна на и ; отрицательна на . При и функция положительна на и , а в точке обращается в нуль. При и функция положительна на . При и функция отрицательна на и ; положительна на . При и функция отрицательна на и , а в точке обращается в нуль. При и функция отрицательна на промежутке ;

9) График функции пересекает ось Оу в точке ;

10) При функция убывает на и возрастает на . При функция возрастает на и убывает на ;

11) При имеем:

При имеем:

12) График функции – парабола (рис. 24–29).

, ,

у у

с

х х

с

Рис.24 Рис. 25

, ,

у у

с с

х х

Рис. 26 Рис. 27

, ,

у у

х

с х с

Рис. 28 Рис. 29

4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (, )

1. Область определения:

2. Область изменения:

3. Функция не является ни четной, ни нечетной;

4. Функция не является периодической;

5. Функция не имеет корней. Ее график не пересекает ось Ох;

6. График функции пересекает ось Оу в точке с ординатой при любом ;

7. Функция положительна на всей области определения;

8. Функция непрерывна на всей области определения;

9. Если то функция возрастает при . Если то функция убывает при ;

10. Функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

11. Графики изображены на рис. 30-31.

у

О 1 х Рис. 30

у

О 1 х Рис. 31

5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (, )

1.

2.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной;

4. Функция не является периодической;

5. Функция имеет корень при любом а. Ее график пересекает ось Ох в точке при любом ;

6. График функции не пересекает ось Оу;

7. Если то отрицательна при и положительна при . Если то функция положительна при и отрицательна при ;

8. Функция непрерывна на всей области определения;

9. Если то возрастает при . Если то функция убывает при ;

10. Функция не имеет ни максимумов, ни минимумов.

11. Графики изображены на рис. 32-33.

у

1

Рис. 32 О 1 х

у

О 1 х

-1

Рис. 33

6. ФУНКЦИЯ МОДУЛЯ ЧИСЛА

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является четной;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет один корень . График функции касается оси Ох в точке ;

6) Функция положительна на промежутках и ; в точке обращается в нуль;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Функция убывает на промежутке , возрастает на ;

9) Функция имеет минимум в точке , причем ;

10) График функции указан на рис. 34.

у

у=–х у=х

О х Рис. 34

Функция обладает теми же свойствами, что и функция . Ее график изображен на рис. 35.

у

О х Рис. 35

Свойства функции

1) ;

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) Функция имеет один корень: . График функции касается оси Ох в точке ;

6) Функция положительна на промежутках и . В точке обращается в нуль;

7) График функции пересекает ось Оу в точке ;

8) Функция убывает на промежутке , возрастает на ;

9) Функция имеет минимум в точке , причем ;

10) Графики функции изображены на рис. 36–37.

О х Рис. 36

О х Рис. 37

7. ДРОБНО–ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

1) ;

2) ;

3) Функция является функцией общего вида;

4) Функция не является периодической;

5) При функция имеет один корень: . В этом случае график функции пересекает ось Ох в точке . При функция не имеет корней и график функции не пересекает ось Ох;

6) При функция положительна на и , отрицательна на . При функция положительна на , отрицательна на и ; При функция положительна на промежутках и , отрицательна на . При функция положительна на промежутке , отрицательна на промежутках и ;