Задания для решения на практическом занятии

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 2. 0,4. 3. . 4. . 5. . 6. 1) ; 2) ; 3) . 7. 0,375. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. 15. 13. Первый – 114 изделий, второй – 112 изделий. 14. . 15. .

*Схема Бернулли. Формула Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа [21]

1. 1) ; 2) . 2. От 59 до 65 раз включительно. 3. 0,1755. 4. 1) ; 2) ; 3) . 5. 1) ; 2) а) ; б) ; в) ; 3) , . 6. 1) а) ; б) ; 2) а) событие «не будет повреждено 9 997 изделий из 10 000» равносильно событию «будет повреждено три изделия из 10 000», следовательно, их вероятности равны (см. ответ 1) а)); б) событие «не будет повреждено хотя бы 9 997 изделий из 10 000» равносильно событию «будет повреждено не более трех изделий из 10 000», тогда . 7. а) ; б) ; в) ; г) . 8. Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной клиентам при наступлении страхового случая, то есть тыс. руб. Для определения применим интегральную теорему Муавра–Лапласа (требование выполнено). По условию задачи , где – число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма, , . Из последнего соотношения выразим : . Из уравнения найдем : . Тогда (Приложение 3). Следовательно, , тыс. руб.

Тема 25

Задания для решения на практическом занятии

1. , , . 2. , , . 3. . 4. . 5. Ряд распределения , функция распределения . 6. 0,000055. 7. 0,09. 8. 0,13534. 9. .

Задания для самостоятельной работы

1. , , , . 2. , . 3. .

4. , , , . 5. 0,000004. 6. Ряд распределения . Функция распределения . 7. , . 8. , . 9. .

Тема 26

Задания для решения на практическом занятии

1. 1) ; 2) графиком плотности распределения на отрезке является парабола , а вне этого отрезка – прямая ; 3) . 2. , , 3. , , , . 4. , , . 5. , , , , 6. . 7. , , , , . 8. 1) ; 2) . 9. . 10. Точность . 11. 0,096. 12. 0,8533.

Задания для самостоятельной работы

1. 1) ; 2) графиком плотности распределения на отрезке является функция , а вне этого отрезка – прямая ; 3) . 2. , , 3. , , , ; . 4. , , , , . 5. 0,2231. 6. 0,424. 7. 0,9876. 8. 0,018.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Кривые второго порядка

Название, каноническое уравнение	Чертеж	Элементы
Эллипс		– большая ось, – малая ось; , , , – вершины; – центр; , – фокусы; () – эксцентриситет; ; – площадь эллипса
Окружность с центром в начале координат		– центр; ; – эксцентриситет, – радиус
Окружность с центром в точке		– центр; ; – эксцентриситет, – радиус
Гипербола		– действительная ось, – мнимая ось; , – вершины; – центр; ; , – фокусы; () – эксцентриситет; – асимптоты
Равнобочная гипербола		; асимптоты (оси координат) перпендикулярны
Парабола		– ось параболы; – фокус; – вершина параболы; – эксцентриситет; () – директриса гиперболы
Парабола с вертикальной осью		– вершина параболы; , ;

Приложение 2

Поверхности второго порядка

Название, каноническое уравнение, элементы	Чертеж	Линии уровня
Эллипсоид ; , , – полуоси; при – сфера.		При сечении плоскостью () – эллипсы , . При сечении плоскостью () – эллипсы , . При сечении плоскостью () – эллипсы ,
Однополостный гиперболоид ; , – действительные полуоси, – мнимая полуось.		При сечении плоскостью – эллипсы , . При сечении плоскостью – гиперболы , . При сечении плоскостью – гиперболы ,
Двуполостный гиперболоид ; , – мнимые полуоси, – действительная полуось.		При сечении плоскостью () – эллипсы , . При сечении плоскостью – гиперболы , . При сечении плоскостью – гиперболы ,
Конус ; – вершина конуса.		При сечении плоскостью () – эллипсы , . При сечении плоскостью () – гиперболы , . При сечении плоскостью () – гиперболы , . При сечении плоскостью – прямые . При сечении плоскостью – прямые

Окончание приложения 2

Название, каноническое уравнение, элементы	Чертеж	Линии уровня
Эллиптический параболоид ; – вершина эллиптического параболоида.		При сечении плоскостью () – эллипсы , . При сечении плоскостью – параболы , . При сечении плоскостью – параболы ,
Гиперболический параболоид ; – вершина гиперболического параболоида.		При сечении плоскостью () – гиперболы , . При сечении плоскостью – параболы , . При сечении плоскостью – параболы , . При сечении плоскостью – прямые
Эллиптический цилиндр		При сечении плоскостью – эллипсы
Гиперболический цилиндр		При сечении плоскостью – гиперболы
Параболический цилиндр		При сечении плоскостью – параболы

Приложение 3

Элементарные функции

№ п/п	Обозначение	Область определения	Область значений	Монотонность	Свойства	График

Степенная функция
1.			, если нечетно	возрастает на , если нечетно	нечетная, если – нечетно, непериодическая
, если – четно	убывает на , возрастает на , если четно	четная, если – четно, непериодическая
2.			если – нечетно	убывает на и на , если – нечетно	нечетная, если – нечетно, непериодическая
, если – четно	возрастает на и убывает на , если – четно	четная, если – четно, непериодическая
3.		, если – нечетно	, если – нечетно	возрастает на интервале , если – нечетно	нечетная, если – нечетно, непериодическая
, если – четно	, если – четно	возрастает на , если – четно	ни четная, ни нечетная, если – четно, непериодическая
Показательная функция
4.	,			возрастает на , если	не является ни четной, ни нечетной, непериодическая
убывает на , если
Логарифмическая функция
5.	,			возрастает на , если	не является ни четной, ни нечетной, непериодическая
убывает на , если

Окончание приложения 3


Тригонометрические функции
6.	возрастает на , убывает на ,	нечетная, периодическая с периодом
7.	возрастает на , убывает на ,	четная, периодическая с периодом
8.	возрастает на ,	нечетная, периодическая с периодом
9.	убывает на ,	периодическая с периодом , нечетная
Обратные тригонометрические функции
10.	возрастает на	нечетная, непериодическая
11.	убывает на	не является ни четной, ни нечетной, непериодическая
12.	возрастает на	нечетная, непериодическая
13.	убывает на	не является ни четной, ни нечетной, непериодическая