Часть 5. Площадь поверхности призмы. Объём призмы

Домашняя зачетная работа «Призма»

Часть 1.Треугольнаяпризма

1. Боковое ребро правильной треугольнойпризмы равно 6, а диагональ боковойграни равна 10. Найдите сторону основания призмы.

Ответ:

2. Точка K — середина ребра AB правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁.Найдите высоту призмы, если A ₁ K = 13, BC = 10.

Ответ:

3. Точка M — середина ребра CC 1 правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁.Найдите высоту призмы, если BM = 10, AB = 6.

Ответ:

4. Точка K — середина ребра AC правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁.Найдите сторону основания призмы,если известно, что она в полтора разабольше высоты призмы и что A 1 K = 10.

Ответ:

5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 12. Найдите большую издиагоналей боковых граней призмы.

Ответ:

6. В основаниях наклонной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ лежат правильные треугольники ABC и A ₁ B ₁ C ₁. Найдите синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания, если высота призмыравна 3, а боковое ребро равно 10.

Ответ:

7. Дана наклонная призма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Найдите тангенс угланаклона бокового ребра к плоскостиоснования, если боковое ребро равно √26, а высота призмы равна 5.

Ответ:

8. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁. Найдите угол ACA ₁, еслибоковое ребро BB ₁ равно 10, а высотаодного из оснований равна 15. Ответдайте в градусах.

Ответ:

9. Точка M ₁ — середина ребра B ₁ C ₁правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁. Найдите косинус угла AM ₁ A ₁, если боковое ребро BB ₁ равно 2√7, а сторона основания равна 4√3.

Ответ:

10. В основании прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ лежит треугольник ABC с прямым углом C, H ₁ — основание высоты другого основания, проведённой из вершины C ₁. Найдитетангенс угла C ₁ CH ₁, если боковое ребро CC ₁ равно 24, а катеты основанияравны 7 и 24.

Часть 2.Призма

1. Основанием прямой треугольной призмы является треугольник, два углакоторого равны 59⁰ и 60⁰. Найдитебольший из углов между плоскостямибоковых граней призмы. Ответ дайте вградусах.

Ответ:

2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC, равной 2. Найдите угол междуплоскостями граней ABB ₁ A ₁ и ACC ₁ A ₁призмы, если AB = 1. Ответ дайте вградусах.

Ответ:

3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Найдите угол между плоскостямиграней ABB ₁ A ₁ и ACC ₁ A ₁ призмы,если AB = 1, BC = √3. Ответ дайте вградусах.

Ответ:

4. Найдите угол между прямой, содержащей диагональ боковой грани прямойтреугольной призмы, и плоскостью основания призмы, если известно, чтовсе рёбра призмы равны. Ответ дайтев градусах.

Ответ:

5. Основанием прямой треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC, равной 4. Найдите угол междупрямой A ₁ K и плоскостью основанияпризмы, если K — середина BC, а высота призмы равна 2. Ответ дайте вградусах.

Ответ:

6. Дана наклонная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁.Найдите расстояние от точки А ₁ допрямой ВВ ₁, если в основании призмылежит правильный треугольник ABC со стороной 9√2, АА ₁ = 4 и BAA ₁ = CAA ₁ = 45⁰.

Ответ:

7. Дана наклонная призма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, в основании которойлежит квадрат АВСD. Проекция точки А ₁ на плоскость АВС лежит на прямой АС. Найдите расстояние от точки А до прямой СС ₁, если боковое реброравно 5, высота призмы равна 3, а сторона основания равна √2.

Ответ:

8. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁. Найдите расстояние между прямыми ВВ ₁ и А ₁ С ₁, если все рёбрапризмы равны 4√3.

Ответ:

9. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁. Найдите расстояние отточки В ₁ до прямой АС, если сторонаоснования равна 4√3, а боковое реброравно 8.

Ответ:

10. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁. Найдите площадь сеченияпризмы плоскостью, проходящей через точки А ₁, В и С ₁, если стороны основания равны 2, а боковое ребро равно √6.

Ответ:

Часть 3. Параллелепипед

1. Диагональ грани куба равна 2√6.Найдите диагональ куба. Ответ:

2. Диагональ куба равна √6. Найдитедиагональ грани куба. Ответ:

3. Стороны основания прямоугольногопараллелепипеда равны 2 и 3, а егодиагональ равна 7. Найдите высотупараллелепипеда. Ответ:

4. Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны 15, 18 и 30.

Найдите длину наибольшего ребра параллелепипеда. Ответ:

5. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 3√5, 2√10 и √13. Найдите длину диагонали этогопараллелепипеда. Ответ:

6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ диагональ АС ₁ равна 10, а боковое ребро ВВ ₁ равно √19.Найдите синус угла BD ₁ D. Ответ:

7. Найдите угол СD ₁ В прямоугольногопараллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, у которого AB = 3, AD = 2, AA ₁ = √3. Ответ дайте в градусах. Ответ:

8. Найдите угол DBD ₁ прямоугольногопараллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, укоторого AB = 5, AD = 12, AA ₁ = 13.Ответ дайте в градусах. Ответ:

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны длины рёбер: AB = 7, AD = 3, AA ₁ = 6. Найдите синус угла между прямыми СВ ₁ и АD ₁. Ответ:

10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ известны длины рёбер AB = 6, AD = 3, AA ₁ = √91. Найдитекосинус угла между прямыми AD и BC ₁.

Ответ:

Часть 4. Параллелепипед

1. Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Найдите уголмежду прямыми AD ₁ и C ₁ C. Ответ дайте в градусах. Ответ:

2. Основанием прямой призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является ромб ABCD, вкотором BAD = 70⁰. Найдите уголмежду прямыми B ₁ D ₁ и BC. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

3. Основанием прямой призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является квадрат ABCD. Высота призмы равна диагонали основания. Найдите угол междупрямой D ₁ B и плоскостью основанияпризмы. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

4. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является квадрат ABCD со стороной, равной 1.Диагональ параллелепипеда равна 2.Найдите угол между плоскостью основания параллелепипеда и прямой, содержащей его диагональ. Ответ дайтев градусах.

Ответ:

5. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в котором CD = 5,

BD 1 = 10. Найдите угол между прямой BD 1 и плоскостью ADD 1 A 1. Ответ дайте в градусах. Ответ:

6. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 8. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите третьеребро, выходящее из той же вершины.

Ответ:

7. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1,в основании которого лежит прямоугольник АВСD, АВ = 45, ВС = 24.Найдите расстояние от точки А 1 допрямой СС 1, если высота параллелепипеда равна 20, а боковое ребро равно 34. Ответ:

8. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите расстояние от точки В 1 до прямой DD 1, если AB = 12, AD = 5, AA 1 = 11.

Ответ:

9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны длины рёбер: AB = 24, AD = 7, AA 1 = 24. Найдитеплощадь сечения, проходящего черезвершины A, A 1 и C.

Ответ:

10. В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AA 1 равно8, а диагональ АС 1 равна 17. Найдитеплощадь сечения призмы плоскостью,проходящей через точки В, В 1 и D.

Ответ:

Часть 5. Площадь поверхности призмы. Объём призмы

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, а площадьбоковой поверхности призмы равна 72.Найдите боковое ребро призмы.

Ответ:

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8, а диагональбоковой грани равна 10. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ:

3. Точка K — середина ребра AB правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1.Найдите площадь боковой поверхности призмы, если A 1 K = 10, CC 1 = 8.

Ответ:

4. Точка M — середина ребра CC 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1. Найдите площадь боковойповерхности призмы, если BM = 5,

AA 1 = 8.

Ответ:

5. Высота основания правильной треугольной призмы равна 5√3, а боковоеребро равно 5. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ:

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, а высотапризмы равна √3. Найдите объём призмы.

Ответ:

7. Основанием призмы является треугольник, две стороны которого равны4 и 6, а угол между этими сторонамиравен 150⁰. Найдите объём призмы,если её высота равна 5. Ответ:

8. Основанием прямой призмы являетсяпрямоугольный треугольник, один изкатетов которого равен 8, а гипотенузаравна 10. Боковое ребро призмы равноменьшему катету основания. Найдитеобъём призмы.

Ответ:

9. Найдите объём прямой треугольнойпризмы, все рёбра которой равны 2√3.

Ответ:

10. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3, 5. Найдите площадь егоповерхности.

Ответ: