Тема 4. Лабораторная работа Численное интегрирование

Тема 4. Лабораторная работа Численное интегрирование

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного интегрирования.

2. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

3. Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.

4. Графическая иллюстрация методов прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание из табл.4-1 для численного интегрирования:

· f(x) – подынтегральную функцию;

· a, b – пределы интегрирования;

· метод интегрирования для выполнения п. 2 – значение в столбце t;

· метод интегрирования для выполнения п. 3 – значение в столбце m;

· начальный шаг интегрирования h_0.

Значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.

2. Вычислить «вручную» интеграл с шагом и /2 по выбранному методу численного интегрирования (значение в столбце t табл.4-1, или по указанному преподавателем) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор) и оценить погрешность интегрирования по правилу Рунге.

3. Вычислить «вручную» интеграл с шагом и /2 по выбранному методу численного интегрирования (значение в столбце m из табл.4-1, или по указанному преподавателем) используя пакет MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм (∑) значений функции и т.п.). Оценить погрешность по правилу Рунге.

4. Вычислить интеграл с помощью встроенных функций математического пакета MathCad

Варианты задания

Таблица 4-1

№	f(x)	a	b	t	m
	8 e-x sin(-2x)					0.25
	e-x sin(2x)					0.5
	x3/2 – 2 x sin(x)					0.25
	e-xcos(-2x)					0.5
	cos(2x) + 2 sin(x)					0.5
	8 sin(2x) – x	0.2	1.2			0.25
	5 cos(-2x) e-x	-0.5	0.5			0.25
	x sin(x + 1) – cos(x – 5)					0.25
	0,25 x3 + cos(x/4)					0,5
	sin(2x) – 2 sin(x)					0.5
	sin(ex) – e-x +1					0.25
	5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)					0.25
	5 e-x + 4 x + x3/3	-1				0.5
	-2 sin(4x) ln(-x) + 5	-2.5	-1.5			0.25
	sin(x – 1) – x cos(x + 3)	-4	-2			0.5
	4 sin (x) – x1/2					0.25
	5 sin3(x) + cos3(x)					0.25
	cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3					0.5
	3 cos(x2) / ln(x + 5)	-1				0.5
	sin(x2) + 1 / (2 – x)	-1.5	0.5			0.5
	x sin(x) + cos(x) + 5					0.5
	– cos(x) – cos(2x) – x + 5					0.5
	1 + sin(4x) / ln(x)	1.5	2.5			0.25
	(1 + x2)1/2 + e-x	-1				0.75
	sin(x + 1) e2 / x					0.25
	2 (1 + x) e-x – 2 cos(x)					0.75
	– 8 sin(– x3) e-x	0.4	1.4			0.25
	– 10 sin(x3) cos(– x)	-1.4	-0.4			0.25
	x2cos(x + 3) – 4					0.25
	– cos(x – 5) e2x / 3					0.5
	x - cos(x/3)					0,25
	x + ln(4x) – 1					0,5
	ex- 4e-x – 1					0,25
	x ex– 2					0,5
	4(x2+1) ln(x) – 1					0,5
	2 – x - sin(x/4)	0,2	1,2			0,25
	x2 + ln(x) – 2	-0,5	0,5			0,25
	сos(x) - (x+2) ½ + 1					0,25
	4(1+x1/2) ln(x) – 1	1,2	3,2			0,5
	5ln(x) - x1/2	3,5				0,5
	ex+ x3 –2					0,25
	3sin(x1/2) + x – 3					0,25
	0,1 x2 – x ln(x)	-1				0,5
	cos(1 + 0,2x2) – x	-2,5	-1,5			0,25
	3 x – 4 ln(x) – 5	-4	-2			0,5

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом и ( и ) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор) и значения погрешностей по правилу Рунге.

3. Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом и ( и ) при использовании пакета MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм (∑) значений функции и т.п.) и значения погрешностей по правилу Рунге.

4. Результаты решения, полученные с помощью встроенных функций математического пакета.

Пример выполнения задания

1. Задание для численного интегрирования:

· – подынтегральная функция;

· a=1, b=3 –пределы интегрирования;

· методы интегрирования для выполнения п. 2 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

· методы интегрирования для выполнения п. 3 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

· начальный шаг интегрирования h₀=1_.

2. «Ручной расчет» интеграла с шагом =1 и ( и ) и оценка его погрешности по правилу Рунге, при использовании MathCad только как калькулятора

В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла с шагом h₀ =1 и методами средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h, при этом погрешность вычисляется по формуле . Полагают, что интеграл вычислен с точностью Е, если , тогда , где I – уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

Вычислим интеграл с шагом h₀=1 и по формуле

· средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

· трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

· Симпсона

и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:

3. «Ручной расчет» интеграла с использованием MathCad с шагом и и оценка его погрешности по правилу Рунге

· по формуле средних прямоугольников:

· по формуле трапеций:

· по формуле Симпсона: